/>
Інтеграл (1) після такої підстановки запишеться у вигляді
(1.9)
де
Це означає, що відповідною заміною змінних можна звести всі інтеграли до виду (1.9).
Спробуємо визначити, чого можна домогтися при наявності всього двох ординат, тобто в тому випадку, коли крива, якою ми замінюємо подинтегральную функцію, є прямою лінією. Іншими словами, спробуємо знайти таку інтегральну функцію
для якої
(1.10)
Рис. 3. Геометричне уявлення методу Гауса з двома ординатами.
Інтеграл, що стоїть в лівій частині цього рівняння, являє собою площу трапеції на рис.3. Нехай сума площ вертикально заштрихованих ділянок (між - 1 і ? 0 і від ? 1 до + 1) дорівнює площі зачерненого ділянки (між ? 0 і ? 1 ). Тоді площа трапеції в точності дорівнює площі під кривою у =? (? ). Завдання полягає в знаходженні такої прямої лінії, для якої досягається це рівність.
Покладемо
(1.11)
де необхідно визначити А 0 , А 1 , ? 0 , ? 1 . Так як у формулі є чотири параметра, то природно припустити, що формула дасть точний результат при інтегруванні кубічної параболи
Перепишемо цю функцію у вигляді
Якщо ? 0 і ? < i align="justify"> 1 повинні задовольняти рівнянню (1.10), то ? 0 і ? 1 визначаються з умови
Так як це рівність має бути справедливо для будь-яких ? 0 і ? 1 то необхідно зажадати виконання двох наступних рівностей:
Виконавши інтегрування, можна записати два останніх рівності у вигляді
звідки випливає, що
(1.12)
Тепер залишається тільки знайти А 0 і А 1 у формулі (1.11). Зауважимо, що
(1.13)
І з формул (11) і (12) випливає, що
Так як значення виразу в правій частині останньої формули має дорівнювати значенню інтеграла у формулі (1.13) при всіх ? 0 і ? 1 , то для А 0 і А 1 отримуємо систему рівнянь
з якої знаходимо
(1.14)
Рівняння (1.11) остаточно запишеться у вигляді
Це і є формула чисельного інтегрування Гаусса для випадку двох ординат. Помилка обмеження дорівнює нулю при інтегруванні многочленів до третього порядку включно. Природно очікувати, що при інтегруванні многочленів вищих ступенів і інших функцій помилка обмеження буде визначатися формулою
де
(1.15)
Щоб знайти К, припустимо, що
При цьому
так що
(1.16)
Точне значення інтеграла легко обчислити:
З іншого боку, з формул (1.15) і (1.16)
Тому
і остаточна формула для помилки обмеження запишеться в наступному вигляді:
Можна вивести гауссови формули чисельного інтегрування більш високих порядків, передбачаючи більшу кількість ординат і вводячи різні вагові коефіцієнти A i :
(1.17)
У загальному випадку, при ( n <...
