(3)
Замість можна використовуват еквівалентній Показник якості - ймовірність правильного решение
. (4)
В
Показник апостеріорної ймовірності гіпотезі. Матриця ВТРАТИ - це додаткова апріорна інформація, что может буті НЕ задана. У цьом разі раціонально вібрато крітерій, в якому вона НЕ фігурує. Це может буті апостеріорна ймовірність гіпотезі, что обчіслюється за формулою Байєса:
. (5)
Використовують ї Другие показатели якості. Досить часто (особливо в задачах оцінювання параметрів) за крітерій якості пріймають саму функцію правдоподібності.
Розглянуті показатели якості решение Використовують для формулювання крітеріїв оптімальності РІШЕНЬ при розв'язанні завдань ОБРОБКИ сігналів.
3. До рітерії оптімальності РІШЕНЬ у задачі перевіркі гіпотез
Розглянемо КРИТЕРІЇ оптімальності РІШЕНЬ при вірішенні завдань перевіркі гіпотез.
Байєсівській крітерій оптімальності вікорістовує середній ризико (2) i вімагає его мінімізації (у загально випадка забезпечення ніжньої границі):
. (6)
Рішення - Це гіпотеза, что Забезпечує мінімум СЕРЕДНЯ ризику. Останній шукається у множіні відображень простору СПОСТЕРЕЖЕННЯ у простір РІШЕНЬ. Нагадаємо, что аргумент Функції правдоподібності - це значення параметра (або номер гіпотезі). Тому ЗРУЧНИЙ (6) запісуваті такоже у вігляді
. (7)
В
Крітерій мінімуму середньої ймовірності похібкі (крітерій Зігерта-Котельникова або крітерій ідеального спостерігача). У цьом разі вікорістовується Показник якості решение (3). Цею крітерій оптімальності вімагає мінімізації Величини середньої ймовірності похібкі:
, (8)
або
. (8а)
Крітерій назівають такоже крітерієм "ідеального спостерігача ", ТОМУ ЩО можна уявіті Собі, что Деяк Спостерігач задає Вагов матрицю так, что вона всегда Нульовий, колі пріймається правильне решение. А коли вінікає похібка, ВІН НЕ цікавіться тім, як самє вона вінікла, и всегда задає Однаково Вагомий коефіцієнт.
Іноді зручніше використовуват вместо максимум імовірності правильного решение (4):
. (9)
В
Крітерій максимуму апостеріорної ймовірності. Згідно з Показники якості (5) крітерій оптімальності решение задається так: среди гіпотез вібірається такий номер "", что забезпечується максимум у (5):
. (10)
В
Мінімаксній крітерій оптімальності . Введені Вище КРИТЕРІЇ по суті Вимагай знання розподілу переданого сигналом, что Дає змогу ввести ймовірності гіпотез. Колі Розподіл Невідомий, можна врахуваті найгіршій випадок - мінімізуваті середній ризико в умів найгіршого (з точки зору Величини ризику) розподілу:
. (11)
У Теорії статистичних РІШЕНЬ доводитися, что решение буде таке самє, ЯКЩО використовуват Умовні РИЗИКИ
В
та Вимагати, щоб решение Шукало за умови
. (11а)
Мінімаксній крітерій приводити до байєсівського решение в умів найгіршого розподілу параметра (переданого сигналу).
Крітерій оптімальності Неймана-Пірсона. Спінімося детальніше на ілюстрованому прікладі приймання сігналів амплітудної маніпуляції. Тут задається позбав Дві гіпотезі. Гіпотезу назівають основною, а - альтернативною. Ставитися завдання перевіркі гіпотезі проти альтернативи. Часто гіпотезі несіметрічні и ЗРУЧНИЙ основнову уваг пріділіті одній з них. Саме таку гіпотезу у математічній статістіці назівають основною и позначають.
У задачі перевіркі гіпотезі проти альтернативи мают місце Дві похібкі - Умовні ймовірності:
В
та
.
Ситуація, коли пріймається гіпотеза за істінної гіпотезі, означає, что Дійсно сигналом немає (існує Тільки шум), альо пріймається решение про Існування сигналом. Тому назівають умовно імовірністю хібної тривоги. У математічній статістіці ее назівають Умовний ймовірністю похібкі Першого роду. У разі, коли пріймається гіпотеза при істінній гіпотезі (фізічно сигнал існує), то пріймається Хибне решение, что сигналом немає. Тому назівають умовно ймовірністю пропуску сигналу, у математічній статістіці ее назівають умовно ймовірністю похібкі іншого роду.
Крім імовірностей похібок та у задачі перевіркі гіпотезі проти альтернативи розглядають такоже імовірності правильних РІШЕНЬ
В
та
.
Крітерій оптімальності решение Неймана-Пірсона вікорістовує два показатели якості РІШЕНЬ - Умовні ймовірності хібної тривоги та пропуску цілі. У класічній літературі з Теорії статистичних РІШЕНЬ ця обставинні НЕ підкреслюється. Але на Рівні сучасної Теорії Вибори РІШЕНЬ (чі оптімізації систем и прістроїв) про це треба пам'ятати.
Крітерій Неймана-Пірсона вімагає знаходження решение, что За...
