Проектуючи сили на вісь 0x маємо:
ГҐ F x = dF - dF Вў + dG Г— cos a = 0,
де dG - рівнодіюча масова сила;
a , b , g - кути, утворені рівнодіючої масової силою dG з координатними осями 0x, 0y і 0z відповідно;
dF і dF Вў - поверхневі сили, що діють на межі ABCD і A Вў B Вў C Вў D Вў .
Поверхневі сили dF і dF Вў рівні:
dF = р Г— dy Г— dz; Вў = р Вў Г— dy Г— dz,
де р і р Вў - середні гідростатичні тиску на майданчики ABCD і A Вў B Вў C Вў D Вў відповідно.
Гідростатичний тиск є функцією координат і при переході від грані ABCD до грані A Вў B Вў C Вў D Вў змінюється тільки координата x. Отже, можемо записати:
р Вў = р + Г— dx,
і сила dF Вў дорівнює
dF Вў = Г— dy Г— dz.
Проекція масової сили дорівнює:
dG Г— cosa = dm Г— j Г— cosa = r Г— dV Г— j Г— cosa = r Г— dx Г— dy Г— dz Г— j Г— cosa,
де j - прискорення масової сили.
Позначимо проекції прискорення зовнішньої масової сили на координатні осі 0x, 0y і 0z:
X = j Г— cosa; = j Г— cosb; = j Г— cosg.
Проекція масової сили дорівнює:
dG Г— cosa = r Г— dx Г— dy Г— dz Г— X.
Підставляючи в рівняння рівняння, і, запишемо:
р Г— dy Г— dz - Г— dy Г— dz + r Г— X Г— dx Г— dy Г— dz = 0.
Отримуємо рівняння проекцій сил на вісь 0x у вигляді:
+ r Г— X = 0.
Аналогічно можна отримати і рівняння проекцій сил на осі 0y і 0z. Система рівнянь рівноваги рідини запишеться у вигляді:
+ r Г— X = 0;
+ r Г— Y = 0;
+ r Г— Z = 0.
Таким чином, для рівноваги маси рідини необхідно, щоб сума всіх зовнішніх поверхневих і масових сил, або їх проекцій на координатні осі дорівнювала нулю.
Помноживши кожне з рівнянь відповідно на dx, dy і dz і склавши, одержимо:
Г— dx + Г— dy + Г— dz = r Г— X Г— dx + r Г— Y Г— dy + r Г— Z Г— dz.
Так як тиск р залежить тільки від трьох незалежних змінних координат x, y, z, ліва частина останнього рівняння являє собою повний диференціал функції р = f:
dp = Г— dx + Г— dy + Г— dz.
Тоді dp = r Г— .
Рівняння називається основним диференціальним рівнянням гідростатики.
3. Поверхня рівня
Поверхностью рівня називається така поверхня, всі точки якої мають одне і те ж значення аналізованої функції: наприклад, поверхню рівною температури, поверхня рівного потенціалу і т.д. Для розгляду з...
