ту.
Математичні дослідження Декарта тісно пов'язані з його роботами з філософії та фізики. В "ГеометріяВ» (1637) Декарт вперше ввів поняття змінної величини і функції.
Змінна величина у Декарта виступала в подвійній формі: як відрізок змінної довжини і постійного напряму - поточна координата точки, описує своїм рухом криву, і як безперервна числова змінна, пробігає сукупність чисел, що виражають цей відрізок. Двоякий образ змінної зумовив взаємопроникнення геометрії і алгебри. У Декарта дійсне число трактувалося як відношення будь-якого відрізка до одиничного, хоча сформулював таке визначення лише І. Ньютон; негативні числа одержали у Декарта реальне тлумачення у вигляді спрямованих ординат. Декарт значно поліпшив систему позначень, ввівши загальноприйняті знаки для змінних величин ( x, у, z ) і коефіцієнтів (a, b, с), а також позначення ступенів ( х 4 , a 5 ). Запис формул у Декарта майже нічим не відрізняється від сучасної. p> До середини XIX століття центральним завданням алгебри було знаходження формули для коренів рівняння P (x) = 0, де P - многочлен довільній ступеня. Це завдання було повністю вирішена в роботах молодих математиків першої третини XIX століття - Е. Галуа (1811-1832), Н. Абеля (1802-1829) і П. Руффіні (1765-1822). br/>
Еваріст Галуа
Ще в XVI столітті італійськими математиками були знайдені формули для вирішення рівнянь третього і четвертого ступеня. Абель і Руффіні довели, що, починаючи з п'ятого ступеня, загальної формули, що використовує, крім додавання і множення, лише витяг коренів, не існує, а Галуа відкрив закономірності поведінки коренів, застосовні до кожного конкретного рівняння.
Паралельно з цим К. Гаусс довів основну теорему алгебри, яка стверджує, що всякий многочлен (коефіцієнти многочлена можуть бути не тільки речовими, але і комплексними числами) має хоча б один корінь (можливо, є не речовим, а комплексним числом). Після цього питання про обчисленні коренів многочлена перемістився з алгебри в теорію функцій і наближених обчислень.
У XX столітті роль многочленів стала мінятися. Букви, що входять до многочлен, все більше стали грати роль символів, не пов'язану з їх конкретними значеннями. Самі різні галузі математики та її додатків стали використовувати символьне обчислення многочленів, не залежне від теорії функцій (математична логіка, топологія, теорія інформації, дискретна і комп'ютерна математика і т.д.).
Наведемо приклад. У XX столітті найважливішим завданням людства стала задача передачі інформації (радіо, телефон, передача відеосигналів тощо).
Математично повідомлення може бути записане у вигляді послідовності символів (крапки і тире в старовинній абетці Морзе, нулі і одиниці тощо), переданої по так званому каналу зв'язку (наприклад, у вигляді радіосигналів).
Визначення многочлена
В
одночленная від деякої літери x називається алгебраїчне вираз a. x n
де
a - деяке число,
x - літера,
n - ціле невід'ємне число.
Одночлени називаються подібними , якщо показники ступеня у літери однакові. Подібні одночлени можна складати за правилом:
a. x n + b n . x n = (a + b). x n
Ця дія називається приведенням подібних членів .
Многочленом називається алгебраїчна сума одночленів.
Будь многочлен від однієї букви x (її часто називають змінної ) після приведення подібних членів може бути записаний по убутним ступенями цієї літери у вигляді
F (x) = a n. x n + a n-1 . x n-1 + ... + a 1 . x + a o
або по зростаючим ступенями
F (x) = a o + a 1 . x + ... + A n-1 . x n-1 + a n . x n
Такий запис многочлена називається канонічної .
Іншими словами, многочлен - це сума цілочисельних ступенів деякої величини, взятих із заданими коефіцієнтами.
Загальноприйнятий зараз спосіб обчислення многочленів сходить до Ньютону і називається схемою Горнера. Ця універсальна (тобто застосовна до будь-якого многочлену) схема гранично проста і витончена. Вона виходить з формули зазначеної вище винесенням за дужки x всюди, де це можливо:
F (x) = (... (((x + a1). x + a2). x + a3) ...). x + an
Порядок дії при обчисленні f (x) визначається дужками в цій формулі. Спочатку додавання усередині самої внутрішньої пари дужок (його результат позначимо через p1, потім множення додавання усередині наступної пари дужок (результат p2) і т.д.
p1 = x + a1;
p2 = p1x + a2;
p3 = p2x + a3;
................... . p> pn = pn - 1x + an, f (x) = pn
