исел b 1 , b 2 , b 3 , а друге за величиною а 1 , а 2 , а 3 знаходитися над другим за величиною з чисел b 1 , b 2 , b 3 , і де найменше з чисел а 1 а 2 а 3 знаходитися над найменшим з чисел b 1 , b 2 , b 3 то послідовність одномонотонная. br/>
Якщо = a 1 b 1 , і = а 1 b 1 + а 2 b 2 , то = а 1 b 1 + а 2 b 2 + a 3 b 3
Для доказу наступних теорем нам знадобиться одна властивість одномонотонних послідовностей, яке оформимо у вигляді леми.
Лемма. Якщо (а 1 , а 2 , ... а n ) і (b 1 , b 2 ... b n ) одномонотонние послідовності, то їх твір не зміниться при перестановки місцями стовпців.
Доказ.
Розглянемо послідовність з двома змінними з двох змінних.
= а 1 b 1 + а 2 b 2 . br/>
Зауважимо, що а 1 b 1 + а 2 b 2 = а 2 b 2 + а 1 b 1 по переместительному властивості додавання. Значить, в самої таблиці ми теж можемо переставляти стовпці змінних, при цьому зберігається одномонотонность послідовності. Тобто
=
Тепер розглянемо послідовність з двома послідовностями з трьох змінних.
= а 1 b 1 + а 2 b 2 + a 3 b 3 . br/>
Крім того, що ми можемо поміняти змінні за переместительному властивості, а по сполучна властивості ми можемо об'єднувати деякі доданки, зберігаючи одномонотонность послідовності. Тобто
а 1 b 1 + а 2 b 2 + a 3 b 3 = (a 3 b 3 + а 2 b 2 ) + а 1 b 1 =
Лема доведена
Теорема 2. Нехай (а 1 а 2 а 3 ), (b 1 b 2 b 3 ) - одномонотонние послідовності і () ( тут і надалі ) будь-яка перестановка чисел b 1 b 2 b 3 . Тоді
.
Доказ.
Дійсно, якщо послідовність відрізняється від (b 1 b 2 b 3 ) то знайдеться пара чисел k, l (1k k , a l ) і (b k , b l ) НЕ одномонотонни. Значить, помінявши місцями числа і, ми збільшимо всю суму, а значить і всю суму. Тобто
, так як.
Очевидно, що за кінцеве число попарних перестановок елементів 2-ий рядки можна отримати одномонотонную послідовність.
Теорема доведена
В
Вправи
Дані нижче вправи ми вирішимо за допомогою Теореми 2
Вправа № 1.
Нехай a і b і c - позитивні речові числа.
Доведіть нерівність.
a 3 + b 3 + c 3 a 2 b + b 2 c + c 2 a.
Доказ.
Зауважимо, перш за все, що
a 3 + b 3 + c 3 =, a 2 b + b 2 c + c 2 a =
А так як послідовності (a 2 , b 2 , c 2 ), (a, b, c) одномонотонни, то
.
А це означає, що a 3 + b 3 + c 3 a 2 b + b < sup> 2 c + c 2 a.
Що і потрібно довести.
Вправа № 2.
Нехай a і b і c - позитивні речові числа.
Доведіть нерівність.
.
Доказ.
Зауважимо, перш за все, що
В
і (a, b, c) і () одномонотонние послідовності, то
,
.
Складаючи ці нерівності, ми отримуємо
.
Відокремимо дробу з однаковим знаменником у правій частині
.
Обчисливши, отримуємо
.
А це означає, що
Що і потрібно довести
2.4 Випадок з двома послідовностями з n змінних
Розглянемо одномонотонние послідовність (а 1 , а 2 , ... а n ) і (b 1 , b 2 , ... b n )
Якщо = a 1 b 1 , і = а 1 b 1 + а 2 ...
