аса узагальненої функції f (t) визначається співвідношенням В
Властивості.
1) p> 2) p> 3) br/>
Тут похідні потрібно розглядати як похідні узагальнених функцій.
Зауважимо, що
В В В В В
4) br/>
тоді
В
5) Знайдемо перетворення Лапласа згортки узагальнених функцій f (t) і g (t):
В В
Cледовательно
В
Бо те
В
Аналогічно можна написати
В В
Наведемо перетворення Лапласа часто використовуваних узагальнених функцій:
В В В В В В В В В В В В
де I o - функція Бесселя нульового порядку.
5.Діфференціальние рівняння в узагальнених функціях
Розглянемо рівняння
В
Якщо f (t) - звичайна функція, то його рішенням є первообразная, тобто
В
Нехай тепер f (t) - узагальнена функція.
Визначення. Узагальнена функція g (t) називається первообразной узагальненою функцією f (t), якщо
(g '(t), j (t)) = (f (t), j (t)).
Якщо f (t) - сингулярна узагальнена функція, то можливі випадки, коли її первообразная - регулярна узагальнена функція. Наприклад, первообразная d (t) є y (t) = q (t); первообразная q (t) є функція y (t) = t + , а рішення рівняння
y'' (t) = d (t)
можна записати у вигляді
t (t) = T + + C 1 t + C 2 (C 1 , C 2 = const).
Розглянемо лінійне рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами
(4)
де f (t) - узагальнена функція. Позначимо
В
диференційний поліном n-го порядку.
Визначення. Узагальненим рішенням диференціального рівняння (4) називається узагальнена функція y (t), для якої виконується співвідношення
В
Якщо f (t) - безперервна функція, тоді єдиним рішенням рівняння (4.) є класичне рішення.
Визначення. Фундаментальним рішенням рівняння (4) називається будь узагальнена функція e (t) така, що
В
Функція Гріна - Фундаментальне рішення, що задовольняє даним граничного, початкового або асимптотичному умові.
Теорема. Рішення рівняння (4) існує і має вигляд
(5)
якщо тільки згортка визначена.
Доказ. Дійсно,
В
По властивості згортки маємо
В
Як приклад розглянемо рівняння
(6)
Неважко бачити, що фундаментальним рішенням цього рівняння є
В
так як
В
і
В
Тому
В
6. Простір узагальнених функцій
Сукупність узагальнених функцій, породжуваних основним простором K, утворює простір K '. Розглянемо підпростір узагальнених функцій простору K, що складається їх узагальнених функцій, рівних нулю поза деякого кінцевого інтервалу належить [0, ВҐ]. Введемо в цьому просторі операцію множення двох функцій у вигляді згортки цих функцій. Якщо f (t), g (t) ГЋ то й Крім того згортка має всі властивості звичайної операції множення. Роль одиниці в відіграє функція d (t), так як для
В
Нехай існує така що
В
тоді f -1 (t) називається зворотною узагальненої функцією f (t).
Простір з введеною операцією множення утворює алгебру (Комутативну) зі сверткой. p> Розглянемо алгебру зі сверткой. Узагальнена функція так як вона дорівнює нулю всюди, крім точки нуль. Узагальнена функція зосереджена спочатку координат, тому Далі,
В
тому
В
Теорема. Нехай для існують зворотні функції f - 1 (t) і g -1 (t). Тоді згортка має зворотну функцію виду
В
Дійсно,
В
Розглянемо наступне певне в рівняння в пакунках
В
Згортка існує для будь узагальненої функції так як
В
Отже, y (t) є фундаментальним рішенням рівняння (4). Зокрема, фундаментальне рішення рівняння (6) з оператором належить алгебрі зі сверткой Отже,
В
Розглянемо операційний метод розв'язання рівняння в пакунках. Нехай є рівняння
В
де a (t) і b (t) ГЋ Серед ефективних методів вирішення цього рівняння наведемо метод перетворення Лапласа. Застосувавши перетворення Лапласа до лівої і правій частині цього рівняння, маємо
В
Звідси випливає
В
Якщо для функції L (p) існує оригінал, що належить то він і є шуканим рішенням.
Як приклад розглянемо рівняння
В
Застосувавши до нього перетворення Лапласа, отримаємо (р 2 -w 2 ) L [y (t)] = 1.
Отже,
В
Звідки знаходимо рішення
В
7.Задача Коші
Розглянемо лінійне нео...
