∩ Q) = СP в€Є СQ;
(b) С (P в€Є Q) = СP ∩ СQ.
Зробимо це, Наприклад, для Першого розподільного закону. Припустиме, что Функції p (x), q (x), r (x) відносяться до множини P, Q, R, тоб P = {x: p (x)}, Q = {x: q (x)} и R = {x: r (x)}. Тоді
P ∩ (Q ∪ R) = {x: p (x) ∧ (q (x) ∨ r (x))}
(P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) = {x: (p (x) ∧ q (x)) ∨ (p (x) ∧ r (x))}.
Припустиме, что x в€€ P ∩ (Q в€Є R). Тоді p (x) ∧ (q (x) в€Ё r (x)) Істинно. За первом розподільному законом для логічніх функцій маємо тавтологію
(p (x) ∧ (q (x) ∨ r (x))) «((p (x) ∧ q (x)) ∨ (p (x) ∧ r (x)))
Звідсі слідує, что (P (x) ∧ q (x)) в€Ё (p (x) ∧ r (x)) Істинно, так что x в€€ (P ∩ Q) в€Є (P ∩ R). А це означатиме, что
(1) P ∩ (Q ∪ R) ⊆ (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R).
Тепер Припустиме, что x в€€ (P ∩ Q) в€Є (P ∩ R). Тоді (p (x) ∧ q (x)) в€Ё (p (x) ∧ r (x)) Істинно. З Першого розподільного законом для логічніх функцій слідує, что p (x) ∧ (q (x) в€Ё r (x)) Істинно, так что x в€€ P ∩ (Q в€Є R). Це Дає
(2) (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) ⊆ P ∩ (Q ∪ R).
Потрібний результат слідує з (1) і (2).
6. Логіка квантіфікаторів
Повернемось до прикладові "x є хлопцеві число". Обмежімо x множини ціліх чисел Z. Tоді віслів "x є хлопцеві число" істінній позбав для Деяк x в Z. Звідсі слідує, что віслів "Деякі x в€€ Z парні" істінній, ЯКЩО віслів "всі x в€€ Z непарні" хибний. p> У загально випадка розглянемо функцію віслів p (x) у якій змінна x захи певній множіні. Введемо наступні позначені для вісловів
в€Ђ x, p (x) (для всіх x, p (x) істінній);
и
в€ѓ x, p (x) (для Деяк x, p (x) істінній).
Символ в€Ђ (для всіх) i в€ѓ (для Деяк) назіваються відповідно універсальнім квантіфікатором и квантіфікатором Існування. Зауважімо, что змінна x НЕ є суттєва, вона может буті замінена будь Якою іншою, так что в€Ђ x, p (x) i в€Ђ y, p (y) означаються Одне ї ті ж Саме.
(Теорема Лагранжа) Кожне натуральне число є сума квадратів чотірьох ціліх чисел. Це можна записатися як
в€Ђ n в€€ N, в€ѓ a, b, c, d в€€ Z, n = a2 + b2 + c2 + d2.
(Гіпотеза Гольдбаха) Кожне хлопця число больше 2 є сума двох простих чисел. Це можна записатися як
в€Ђ n в€€ N {1}, в€ѓ p, q Прості, 2n = p + q.
Ще невідомо, чи Це дійсно так. Це одна з найцікавішіх з галі не розв'язання проблем математики.
заперечення
Розглянемо заперечення вісловів з квантіфікаторамі. Давайте скажемо, что ВСІ люди дурні. Дехта з вас з ЦІМ не погода. Можна здогадатіся, что заперечення вислову в€Ђ x, p (x) буде віслів в€ѓ x, p (x). Тепер будемо не так категоричні и скажемо, что Дехта з вас дурень. Если и цього разу заперечіте, то заперечення вислову в€ѓ x, p (x) буде в€Ђ x, p (x). Отже, маємо формули аналогічні законам де Моргана для квантіфікаторів
в€Ђ x, p (x) В«в€ѓ x, p (x)
в€ѓ x, p (x) В«в€Ђ x, p (x).
Підсумовуючі Сказання, заперечуючі віслів з кавантіфікатрором ми змінюємо квантіфікатор и заперечуємо функцію вісловів. Застосовуючі це правило послідовно декілька разів одержимо заперечення більш складного вислову
В
спочатку як
В
Потім
В
Потім
В
І, Нарешті,
В
заперечення гіпотезі Гольдбаха в термінах квантіфікаторів буде
в€ѓ n в€€ N {1}, в€Ђ p, q Прості числа, 2n В№ p + q.
Іншімі словами, існує хлопця число больше 2, Яке НЕ є сумою двох простих чисел. Отже, щоб відкінуті гіпотезу Гольдбаха й достатньо найти таке число. Це назівається "привести контр приклад". br/>
Література
1. Вища математика: Основні Означення, приклад и задачі. У 2-х кн. /За ред. І.П.Васільченко. _ К: Либідь, 1994. - 280 ст. p> 2. Шкіль М.І. Вища математика: Підручник у 3-х кн./Шкіль М.І., Колеснік Т.В., Котлова В.М. - К.: Либідь, 1994. p> 3. Вища математика: Основні Означення, приклад и задачі. У 2-х кн. /За ред. Г.Л. Кулініча: Підручник К.: Либідь, 1994. p> 4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Короткий курс вищої математики. - М.: Наука, 1985. p> 5. Карасьов А.І., Аксютіна Е.М., Савельєва Т.І. Курс вищої математики для економічних вузів. М.: Вища школа. ч. 1,2. 1990. p> 6. Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне числення. - М.: Наука, 1988, т.1, 2. p> 7. Ільїн В.М., Позняк З.Г. Аналітична геометрія. М.: Наука, 1984. p> 8. Ільїн В.М., Позняк З.Г. Лінійна алгебра. М.: Наука, 1989. p> 9. Бахвалов С.В. Аналітична геометрія. - М.: Вища школа, 1992. p> 10. Цубербіллер О.Н. Завдання з аналітичної геометрії. М.: Вища школа, 1984. p> Розміщено на
