Програми певного інтеграла
Певний інтеграл - адитивний монотонний нормований функціонал, визначений на множині пар, перша компонента яких є інтегрована функція або функціонал, а друга - область у множині завдання цієї функції (функціоналу).
Дане вище визначення інтеграла при всій його очевидній спільності в підсумку призводить до звичного розуміння певного інтеграла, як площі подграфіка функції на відрізку.
Нехай f (x) визначена на [a; b]. Розіб'ємо [a; b] на частини з кількома довільними точками a = x0 , i = 0, Певним інтегралом від функції f (x) на відрізку [a; b] називається межа інтегральних сум ? R при , якщо він існує незалежно від розбиття R і вибору точок ? i, тобто (1) Якщо існує (1), то функція f (x) називається интегрируемой на [a; b] - визначення інтеграла за Ріманом.
В
- нижня межа. - верхню межу. (x) - підінтегральна функція.
? R - довжина часткового відрізка.
? R - інтегральна сума від функції f (x) на [a; b] відповідної разбиению R.
? R - максимальна довжина част. відрізка.
Визначення інтеграла на мові ,?: ( по "Коші") Число I - називається визначеним інтегралом від f (x) на [a; b], якщо для будь-якого ?> 0 існує ? =? (?)> 0: для будь-якого розбиття R відрізка [a; b]: ? R
Інтегра ? л Рі ? < span align = "justify"> мана - одне з найважливіших понять математичного аналізу. Введено Бернгардом Ріманом в 1854 році, і є однією з перших формалізацій поняття інтеграла.
Через інтегральні суми
Нехай на відрізку [a, b] визначена вещественнозначная функція f.
Розглянемо розбиття відрізка - кінцеве безліч попарно різних точок відрізка. Це розбиття ділить відрізок [a, b] на n відрізків . Довжина найбільшого з відрізків ? R = max (? Xi), називається кроком розбиття, де ? xi = xi ? xi? 1-довжина елементарного відрізка.
Зазначимо на кожному відрізку розбиття по точці . Інтегральною сумою називається вираз .
Якщо при прагненні кроку розбиття до нуля інтегральні суми прагнуть до одного і того ж числа, незалежно від вибору , то це число називається інтегралом функції f на відрізку [a, b ], тобто .
У цьому випадку, сама функція f називається интегрируемой (за Ріманом) на [a, b]; в іншому випадку f є неінтегріруемих (за Ріманом) на відрізку [a, b].
Властивості
невироджені:
Позитивність: Якщо інтегрована функція f неотрицательна, то її інтеграл по відрізку [a, b] також неотрицателен.
Лінійність: Якщо функції f і g інтегровними, і , то функція ? f +? g теж интегрируема, і .
Безперервність: Якщо інтегруються функції fi рівномірно сходяться на відрізку [a, b] до функції f, то f інтегровна, і . (Остання формула може бути отримана вже як формальний наслідок властивостей 1-3 і інтегровності граничної функції.)
Аддитивність при розбитті відрізка Нехай a
.
