побудували нову геометрію, в якій виконувалися всі аксіоми геометрії Евкліда, за винятком п'ятого постулату. Він був замінений протилежним твердженням: "У площині через точку поза прямою можна провести більше однієї прямої, що не перетинає дану ". Ця геометрія була настільки ж несуперечливою, як і геометрія Евкліда. Модель планіметрії Лобачевского на евклідовій площині була побудована французьким математиком Анрі Пуанкаре в 1882 р. На евклідовій площині проведемо горизонтальну пряму. Ця пряма називається абсолютом (x). Точки евклідовій площині, що лежать вище абсолюту, є точками площини Лобачевського. Площиною Лобачевського називається відкрита напівплощина, лежить вище абсолюту. Неевклідові відрізки в моделі Пуанкаре - це дуги кіл з центром на абсолюті або відрізки прямих, перпендикулярних абсолюту (AB, CD). Фігура на площині Лобачевского - фігура відкритої напівплощини, що лежить вище абсолюту (F). Неевклидово рух є композицією кінцевого числа інверсій з центром на абсолюті і осьових симетрій, осі яких перпендикулярні абсолюту. Два неевклідових відрізки рівні, якщо один з них неевклідовим рухом можна перевести в інший. Такі основні поняття аксіоматики планіметрії Лобачевского. Всі аксіоми планіметрії Лобачевского несуперечливі. Визначення прямої наступне: "Неевклидова пряма - це півколо з кінцями на чи абсолюті промінь з початком на абсолюті і перпендикулярний абсолюту ". Таким чином, твердження аксіоми паралельності Лобачевского виконується не тільки для деякої прямої і точки A, що не лежить на цій прямій, але і для будь-якої прямої і будь-який не лежить на ній точки A. За геометрією Лобачевського виникли й інші несуперечливі геометрії: від евклідової відокремилася проективна геометрія, склалася багатовимірна евклідова геометрія, виникла риманова геометрія (загальна теорія просторів з довільним законом виміру довжин) і ін З науки про фігури в одному тривимірному евклідовому просторі геометрія за 40 - 50 років перетворилася в сукупність різноманітних теорій, лише в чомусь подібних зі своєю прародителькою - геометрією Евкліда.
Аксіоми планіметрії
Аксіоми приналежності
В§ Яка б не була пряма, існують точки, належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
В§ Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну.
Аксіоми розташування
В§ З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.
В§ Пряма розбиває площину на дві півплощини.
Аксіоми вимірювання
В§ Кожен відрізок має певну довжину, більшу нуля. Довжина відрізка дорівнює суму довжин частин, на які він розбивається будь його точкою.
В§ Кожен кут має певну градусну міру, велику нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180 градусів. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.
Аксіоми відкладання
В§ На будь полупрямой від її початкової точки можна відкласти відрізок, заданої довжини, і тільки один.
В§ Від будь полупрямой в задану полуплоскость можна відкласти кут заданої градусної мірою, меншою 180 градусів, і тільки один.
В§ Який би не був трикутник, існує рівний йому трикутник в заданому розташуванні відносно даної полупрямой.
В
Аксіома паралельності
В§ Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, паралельної даній.
Евклід
Біографія
Евклід (інакше Евклід) - давньогрецький математик, автор першого з дійшли до нас теоретичних трактатів з математиці. Біографічні відомості про Евкліда украй мізерні. Відомо лише, що вчителями Евкліда в Афінах були учні Платона, а в правління Птолемея I (306-283 до н.е.) він викладав в Олександрійській академії. p> Евклід - перший математик олександрійської школи. Евклід - автор ряду робіт з астрономії, оптиці, музиці та ін Арабські автори приписують Евкліду і різні трактати з механіки, у тому числі твори про вагах та про визначення питомої ваги. Помер Евклід між 275 і 270 до н. е..
Почала Евкліда
Основний твір Евкліда називається Почала. Книги з такою ж назвою, в яких послідовно викладалися всі основні факти геометрії і теоретичної арифметики, складалися раніше Гіппократом Хиосськом, Леонтій і Февда. Однак Почала Евкліда витіснили всі ці твори з ужитку і протягом більш ніж двох тисячоліть залишалися базовим підручником геометрії. Створюючи свій підручник, Евклід включив до нього багато чого з того, що було створено його попередниками, обробивши цей матеріал і звівши його воєдино. Почала складаються з тринадцяти книг. Перша і деякі інші книги предваряются списком визначень. Першій книзі предпослан також список постулатів і аксіом. Як правило, постулати задають базові побудови (напр., В«потрібна, щоб через будь-які дві точки можна було провести пряму В»), а аксіоми ...
