Лекція № 11. Пряма лінія на площині
Запитання:
Загальне рівняння прямої;
Канонічне рівняння прямої;
Параметричні рівняння прямої;
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом;
Загальне рівняння прямої
Твердження 1. Якщо на площині зафіксована довільна декартова прямокутна система Oxy то всяке рівняння першого ступеня з двома змінними
В
(1), в яких хоча б одна з постійних відмінна від нуля, визначає відносно цієї системи пряму лінію.
Доведемо це твердження. Для того що б твердження було справедливим необхідно знайти такий вектор який був би перпендикулярний цій лінії в будь-якій її точці. br/>В
Для цього виберемо будь-яке (хоча б одне) рішення задовольняє вихідному рівнянню .
Позначимо цю точку. Координати довільної точки, що лежить на вихідної лінії позначимо як. Покажемо, що вектор, якщо рівняння першого ступеня - лінія, завжди ортогонален вектору. Для цього віднімемо з вихідного рівняння тотожність
. Отримаємо еквівалентну рівняння виду:
.
Отримане рівняння не що інше, як умова ортогональності векторів, виражене через їх скалярний твір. (Вектори ортогональні, якщо сума відповідних координат цих векторів і дорівнює нулю. Маємо на увазі:
,).
Отже рівняння (1) є рівняння прямої.
Рівняння (1) з довільними коефіцієнтами і, перші два з яких не рівні нулю одночасно, називається загальним рівнянням прямої.
Пряма, обумовлена ​​загальним рівнянням, ортогональна вектору, званому нормальним вектором прямої.
Загальне рівняння називається повним, якщо всі його коефіцієнти і не дорівнюють нулю. Якщо хоча б один з цих трьох коефіцієнтів не дорівнює нулю, рівняння називається неповним. p> Розглянемо всі можливі види неповних рівнянь:
1 .. Рівняння визначає пряму, що проходить через початок координат (оскільки початок координат задовольняє цього рівняння). p> 2 .. Рівняння визначає пряму, паралельну осі. (Оскільки нормальний вектор цієї прямої ортогонален осі). p> 3 .. Рівняння визначає пряму, паралельну осі. (Оскільки нормальний вектор цієї прямої ортогонален осі). p> 4. і. Рівняння визначає вісь (оскільки пряма, обумовлена ​​цим рівнянням, паралельна осі і проходить через початок координат). p> 5. і. Рівняння визначає вісь (оскільки пряма, обумовлена ​​цим рівнянням, паралельна осі і проходить через початок координат)
Повне рівняння прямої може бути приведене до наступного вигляду:
.
Цей вид рівняння прямої називається рівнянням прямої у відрізках.
Загальне рівняння до рівняння у відрізках наводиться таким чином:
В
, тобто ,. br/>
Рівняння прямої у відрізках має простий геометричний зміст (див. рис.2).
Відрізки і визначають точки перетину прямої осей і.
У цьому не важко переконається поклавши спочатку, а за тим
Канонічне рівняння прямої
Будь ненульовий вектор, паралельний даної прямої називається напрямних вектором цієї прямої. Канонічне рівняння можна отримати, якщо запишемо рівняння прямої що проходить через задану точку в заданому напрямку. p> Нехай задана точка та спрямовує вектор.
Очевидно, що точка лежить на зазначеній прямий в тому випадку, якщо вектори і колінеарні. Якщо вектора колленіарни, то. Через координати це властивість може бути виражене так
.
Співвідношення (2) є шуканим канонічним рівнянням прямої.
У висновку запишемо рівняння прямої, що проходить через дві дані і відмінні один від одного точки і. Для цього досить у канонічному рівнянні (2) взяти в якості направляючого вектора. Ми отримаємо при цьому рівнянні
. (3)
Параметричні рівняння прямої
Параметричне рівняння прямої випливає з канонічного рівняння (2). Якщо в якості постійної взяти змінний параметр, що змінюється в діапазоні (нескінченна пряма), то
, або остаточно
. (4)
Рівняння (4) є шуканим параметричним рівнянням прямої. Ці рівняння допускають наочну механічну інтерпретацію. Якщо параметр - це час, то параметричне рівняння описує рух матеріальної точки по прямій лінії з постійною швидкістю рівною
.
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Введемо поняття кута нахилу прямої до осі. Нехай пряма не паралельна осі і її перетинає в точці. Виберемо на осі точку лежачу по той бік від куди спрямована вісь. На прямій точку по той бік від куди спрямована вісь. Тоді кутом нахилу цієї прямої до осі називається кут. p> Якщо пряма і вісь паралельні, то вважаємо, що кут нахилу.
Тангенс кута нахилу прямої до осі назвемо кутовим коефіцієнтом цієї прямої і позначимо. І так. Для прямої паралельної осі кутовий коефіцієнт дорівнює нулю. p> Введемо рівняння прямої, що проходить через дану точку і має даний кутовий коефіцієнт.
Покажемо, що який би кут нахилу до осі (гострий або тупий) не мала пряма лінія і в яку б сторону не був спрямований спрямовує вектор цієї прямої. Кутовий коефіцієнт цієї прямої завжди дорівнює відношенню - координат направляючого вектора. br/>В
У випадку (Мал. 3, 4), де - кут між направляючим вектором і віссю;
,;
;
У випадку (Мал. 5, 6);
В
.
.
В
Отже, завжди.
Використовуючи канонічне рівняння (2) можна записати
або.
Позначивши отримаємо
. (5)
рівняння лінія відрізок вектор тангенс
Рівняння прямої (5) називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. У цьому рівнянні b представляє собою відрізок відсікається прямій на осі (при див. рис. 7). br/>
