Міністерство з науки та освіти Російської Федерації
Федеральне агентство з освіти
Державне освітня установа вищої професійної освіти
Далекосхідний державний гуманітарний університет
Інститут математики фізики та інформаційних технологій
Кафедра геометрії
Реферат
На тему:
В«Значення рішення проблеми V постулату Евкліда В»
Виконала студентка ІМФіІТ
3 курсу ОЗО
О.В.Крилік
Перевірив: Доцент кафедри геометрії
Т.А.Тімошенко
ХАБАРОВСК 2008
Тривалі невдачі різноманітних спроб вивести п'ятий постулат Евкліда з інших аксіом і постулатів евклідової геометрії підготували грунт для принципово інший постановки питання про проблему паралельних ліній. Відбувалося поступове переростання завдання докази п'ятого постулату в протилежну задачу: встановлення його логічної недовідності. Сама природа питання наштовхувала дослідників на пошуки рішення на інших шляхах, іноді крім їхніх намірів або навіть наперекір їм.
Ідея недовідності п'ятого постулату Евкліда з початку XVIII століття проявляється у все більш виразною формі і у все більш змістовному вигляді, поки не призводить до остаточного затвердження логічної можливості нової геометрії, де п'ятий постулат Евкліда не має місця. До початку XIX століття В«проблема п'ятого постулатуВ» Евкліда настільки назріла, що була вирішена майже одночасно і незалежно один від одного кількома різними особами.
Можливо, що й сам Евклід намагався довести постулат про паралельних. На користь цього говорить та обставина, що перші 28 пропозицій В«ПочавВ» не спираються на п'ятий постулат; Евклід як би намагався відсунути застосування цього постулату до тих пір, поки використання його не стане настійно необхідним.
З часів Евкліда до кінця XIX століття проблему п'ятого постулату була однією з найпопулярніших проблем геометрії. За цей період було запропоновано безліч різних доказів п'ятого постулату. Проте всі вони були помилкові. Зазвичай автори цих доказів використовували якесь геометричне твердження, яке виявлялося настільки наочно очевидним, що проскакувало в міркуваннях непомітно для самого автора. Разом з тим спроба логічно довести таке твердження, в свою чергу не спираючись на п'ятий постулат, завжди закінчувалася невдачею.
Звичайно, подібні дослідження не досягали наміченої мети, так як сенс проблеми полягав у визволенні евклідової теорії паралельних від спеціального постулату, і, таким чином, справа тут була не в тому, щоб замінити п'ятий постулат іншим твердженням, хоча б воно і було вельми очевидним, а в тому, щоб довести цей постулат, виходячи з інших постулатів геометрії.
Потрібно зауважити, втім, що численні спроби докази п'ятого постулату, незважаючи на їх марність, призвели до відомих позитивних результатів.
Характерними для періоду зародження ідеї недовідності п'ятого постулату є роботи італійського вченого ченця Джироламо Саккери (1667 - 1733), випущені ним в світ в 1733 році під назвою В«Евклід, очищений від усяких плям В». Сама назва твору вказує на задум Саккери: довести евклидову геометрію до логічного досконалості, причому, звичайно, малося на увазі в першу чергу усунути сумніви, пов'язані з п'ятим постулатом, шляхом його докази. З цією метою Саккери застосовує метод докази від протилежного. В основі його міркувань лежить вивчення властивостей чотирикутника ABCD,
Де == і AB = CD. Ця фігура отримала назву В«Чотирикутника СаккериВ» (хоча О. Хайям розглядав цю фігуру ще в XII столітті). Розглядаючи пряму MN, проведену перпендикулярно до прямої AD через середину відрізка AD, шляхом перегинання креслення по прямій MN легко переконатися, що ця пряма служить віссю симетрії фігури, так що
= і BN = CN.
Щодо рівних кутів ABC і DCB Саккери три логічно можливих припущення:
=> (гіпотеза тупого кута),
== (гіпотеза прямого кута),
= <(гіпотеза гострого кута).
З В«гіпотези тупого кутаВ» Саккери виводить, що сума кутів трикутника дорівнює і, отже, сума кутів чотирикутника дорівнює, так що ця гіпотеза суперечлива (за його словами, В«Сама себе вбиваєВ») і повинна бути відкинута. p> Саккери встановлює далі, що гіпотеза прямого кута тягне п'ятий постулат Евкліда. Тому для доказу п'ятого постулату залишається тільки спростувати гіпотезу гострого кута. З цією метою Саккери далеко розвиває систему наслідків з цієї гіпотези, прагнучи прийти до протиріччя. Незважаючи на незвичність одержуваних результатів, очікуване суперечність не виникає ... Зрештою Саккери зраджує почуття строгості, характерне для його твори, він пускається в туманні висновку про нескінченно віддалених точках і без достатньої підстави робить висновок, що В«гіпотеза гострого кута суперечить природі прямої лінії В». О...
