на призма.
. У кожній вершині опуклого багатогранника сходиться по чотири ребра. Скільки він має вершин В і граней Г, якщо число ребер дорівнює 12? Намалюйте ці багатогранники. p align="justify"> Відповідь: В = 6, Г = 8, октаедр.
. Доведіть, що в будь-якому опуклому многограннике є трикутна грань або в якій-небудь його вершині сходиться три ребра. p align="justify">. Подумайте, де в міркуваннях, що показують справедливість співвідношення Ейлера, використовувалася опуклість багатогранника. p align="justify">. Чому одно В - Р + Г для багатогранника, зображеного на малюнку 6? p align="justify"> Відповідь: 0.
Правильні багатогранники
Опуклий багатогранник називається правильним, якщо його гранями є рівні правильні багатокутники, і всі багатогранні кути рівні.
Розглянемо можливі правильні багатогранники і насамперед ті з них, гранями яких є правильні трикутники. Найбільш простим таким правильним многогранником є ​​трикутна піраміда, гранями якої є правильні трикутники (рис. 7). У кожній її вершині сходиться по три грані. Маючи всього чотири грані, цей багатогранник називається також правильним тетраедром, або просто тетраедром, що в перекладі з грецької мови означає четирехграннік. br/>В
Багатогранник, гранями якого є правильні трикутники, і в кожній вершині сходиться чотири грані, зображений на малюнку 8. Його поверхня складається з восьми правильних трикутників, тому він називається октаедром. p align="justify"> Багатогранник, в кожній вершині якого сходиться п'ять правильних трикутників, зображений на малюнку 9. Його поверхня складається з двадцяти правильних трикутників, тому він називається Ікосаедр. p align="justify"> Зауважимо, що оскільки у вершинах опуклого багатогранника не може сходитися більше п'яти правильних трикутників, то інших правильних багатогранників, гранями яких є правильні трикутники, не існує.
Аналогічно, оскільки у вершинах опуклого багатогранника може сходитися тільки три квадрата, то, крім куба (рис. 10), інших правильних багатогранників, у яких гранями є квадрати не існує. Куб має шість граней і тому називається також Гексаедр. <В
Багатогранник, гранями якого є правильні п'ятикутник, і в кожній вершині сходиться три грані, зображений на малюнку 11. Його поверхня складається з дванадцяти правильних п'ятикутників, тому він називається додекаедрів. p align="justify"> Розглянемо поняття правильного багатогранника з точки зору топології науки, що вивчає свойсва фігур, що не залежать від різних деформацій без розривів. З цієї точки зору, наприклад, всі трикутники еквівалентні, оскільки один трикутник завжди може бути отриманий з будь-якого іншого відповідним стисненням або розтягуванням сторін. Взагалі всі багатокутники з однаковим числом сторін еквівалентні з тієї ж причини. p align="justify"> Як у такій ситуації визначити поняття топологічно правильного багатогранника? Інакше кажучи, які властивості у визначенні правильного багатогранника є топологічно стійкими і їх слід залишити, а які не є топологічно стійкими і їх слід відкинути. p align="justify"> У визначенні правильного багатогранника кількість сторін і кількість граней є топологічно стійкими, тобто не міняв при безперервних деформаціях. Правильність ж багатокутників не є топологічно стійким властивістю. Таким чином, ми приходимо до наступного визначення. p align="justify"> Опуклий багатогранник називається топологічно правильним, якщо його гранями є багатокутники з одним і тим же числом сторін і в кожній вершині сходиться однакове число граней.
Два багатогранника називаються топологічно еквівалентними, якщо один з іншого можна отримати безперервної деформацією.
Наприклад, всі трикутні піраміди є топологічно правильними многогранниками, еквівалентними між собою. Всі паралелепіпеди також є еквівалентними між собою топологічно правильними многогранниками. Не є топологічно правильними многогранниками, наприклад, чотирикутні піраміди. p align="justify"> З'ясуємо питання про те, скільки існує не еквівалентних між собою топологічно правильних багатогранників.
Як ми знаємо, існує п'ять правильних багатогранників: тетраедр, куб, октаедр, ікосаедр і додекаедр. Здавалося б, топологічно правильних багатогранників має бути набагато більше. Однак виявляється, що ніяких інших топологічно правильних багатогранників, що не еквівалентних вже відомим правильним, не існує. p align="justify"> Для доказу цього скористаємося теоремою Ейлера. Нехай дано топологічно правильний багатогранник, гранями якого є n - кутники, і в кожній вершині сходиться m ребер. Ясно, що n і m більше або рівні трьох. Позначимо, як і раніше, В - число вершин, Р - число ребер і Г - число граней цього багатогранника. Тоді
Г = 2P; ...
