АНАЛІЗУ
Вік нестандартного аналізу коливається (залежно від точки зору) від двох з половиною десятків до трьох сотень років. Два з половиною десятки вийде, якщо вважати, що нестандартний аналіз зародився восени 1960 р., коли його засновник, Абрахам Робінсон, зробив доповідь на одному нз семінарів Прінстонського університету про можливості застосування методів математичної логіки до обгрунтування математичного ана-лізу. Триста років вийде, якщо вважати початком нестандартного анлиз поява символів нескінченно малих dx, dy трактаті Лейбніца "Новий метод ".
Важко сказати з упевненістю, наскільки насправді Лейбніц був близький до ідей нестандартного аналізу. Як пише сам Робінсон "історія предмета зазвичай пишеться в світлі його пізнішого розвитку. Вже більше ніж півстоліття всі огляди історії диференціального й інтегрального числень грунтувалися на впевненості в тому, що поняття нескінченно малих і нескінченно великих, якщо навіть і несуперечливо, марно для розвитку аналізу. У результаті в роботах цього періоду помітно відмінність між строгістю, з якою розглядаються ідеї Лейбніца та його послідовників, і поблажливістю, що проявляється до провісників ідеї межі ". Характерно, наприклад, таке висловлювання Анрі Лебега від 3 грудня 1926 "Нескінченно малі були колись туманними сутностями, що зустрічалися в неясних і неточних формулюваннях. Всі роз'яснилося згодом завдяки поняттю межі ".
Вважаючи, що ідеї Лейбніца та ідеї прихильників поняття граничного переходу мірялися подвійним стандартом при несправедливому відмінюванні терезів правосуддя на користь межі, Робінсон пропонує багато в чому переглянути загальну картину виникнення і розвитку математичного аналізу від Ньютона і Лейбніца до Коші і Вейерштраса. Цей перегляд призводить до більш повного визнання заслуг Лейбніца, і сам Лейбніц переміщається, таким чином, з розряду геніїв третього класу в розряд геніїв другого класу (класифікація, запропонована Станіславом Лемом: у цій класифікації генії третього класу отримують прижиттєве, а генії більш високого класу - лише посмертне визнання).
Викладемо історико-математичні погляди Робінсона. Робінсон резюмує стандартний погляд на історію розвитку математичного аналізу в наступних словах: "Після тривалого періоду, в протягом якого були визначені площі, обсяги і дотичні в різних приватних випадках, у другій половині сімнадцятого століття Ньютоном і (Дещо пізніше, але незалежно) Лейбніцем була побудована загальна теорія диференціювання та інтегрування. Торкаючись обгрунтування введених ним понять, Ньютон звертався то до нескінченно малим, то до меж, то безпосередньо до фізичної інтуїції; його безпосередні послідовники вважали за краще останнє. З іншого боку, Лейбніц і його послідовники розвивали теорію виходячи з диференціалів першого і наступних порядків. Технічні зручності позначень, які використовували диференціали, призвели до швидкого розвитку Аналізу та його додатків в Європі, де вони були прийняті. Проте ...
