внутрішні протиріччя цієї концепції привели до усвідомлення того, що необхідні якісь інші підстави. Лагранж вважав, що йому вдалося знайти відповідний шлях, взявши за основу тейлоровской розкладання функції. Але перше суворе обгрунтування математичного аналізу було дано лише Коші. Основою теорії Коші було поняття межі, яке, будучи вперше висунуто Ньютоном, згодом підтримувалося Даламбером. Більш формальний виклад методів Коші було дано Вейерштрасом (Якого в деякій мірі передбачив Больцано). Після створення теорія меж використання нескінченно великих і нескінченно малих перетворилося на мовний зворот, який застосовується у виразах типу "... прагне до нескінченності ". Подальший розвиток теорії неархимедовой полів було цілком надано алгебрі. "
Цей стандартний вдивися, але думку Робінсона, в деяких відносинах "повинен бути доповнений або навіть змінено". У доказательст цього Робінсон наводить велику кількість витягів з творів Лейбніца та інших згаданих вище авторів. Як вважає Робін-сон, "... ставлення Лейбніца до нескінченно великим і нескінченно малим величинам в Аналізі в основному залишалося незмінним протягом двох останніх десятиліть його життя. Він повністю схвалював їх введення, але вважав їх "ідеальними елементами, подібними уявним числа. Ці ідеальні елементи підкоряються тим же законам, що й звичайні числа. Тим не Проте вони представляють собою не більш ніж зручні фікції, необхідні для полегшення міркувань і відкриттів. Завжди, при бажанні, можна виключити їх використання і повернутися до стилю античних математиків, розмірковуючи в термінах величин, досить великих (або малих) для того, щоб помилка була менше будь-який наперед заданий-ною. Усе це чітко і неодноразово стверджується у творах Лейбніца ". p> Наведемо тепер деякі з висловлювань Лейбніца, цитованих Робінсоном. p> "... Потрібно сприймати нескінченне подібно до того, як це робиться в оптиці, коли сонячні промені вважаються надходженням зі нескінченно віддаленої точки і тому паралельними ... І коли є різні порядки нескінченного або нескінченно малих, то розуміються вони в тому ж сенсі, в якому земну кулю вважається точкою в порівнянні з відстанню до нерухомих зірок, а кулька в наших руках - точкою в порівнянні з радіусом земної кулі, так що відстань до нерухомих зірок є нескінченно нескінченним або нескінченністю нескінченності по відношенню до діаметру кульки. Замість нескінченно великого або нескінченно малої кількості можна взяти кількість настільки велике чи мале, наскільки це потрібно, щоб помилку не перевищувала заданої. Відмінність від архімедовского стилю міркувань лише в виразах, які у нас більш безпосередні і краще пристосовані для мистецтва винаходити ".
"... Якщо хтось не бажає розглядати нескінченно великі і малі в строго метафізичному сенсі, як реально існуючі, він можег користуватися ними як В«ідеальними поняттямиВ», які скорочують міркування, подібно уявним коріння в звичайному аналізі ... Таким же чином представляють більше трьох вим...