ub>. В
Неповні ряди Фур'є
Якщо функція f (x) парна, тобто f (-x) = f (x), то у формулах (1) b n = 0 (n = 1,2, ...),
В
Якщо функція f (x) непарна, тобто f (-x) =-f (x), то a n = 0 (n = 0,1,2 ...),.
Ряди Фур'є періоду 2l.
Якщо f (x) задовольняє умовам Деріхле в деякому інтервалі (- l; l ) довжини 2 l , то справедливо наступне розкладання в ряд Фур'є:
В
ряд Фур'є періоду 2 l , тобто в інтервалі (- l; l ), де коефіцієнти обчислюються:
В
Зауваження : у разі розкладання функції f (x) в ряд Фур'є в довільному інтервалі (a; a +2 l ) довжини 2 l межі інтегрування у формулах (2), біля коефіцієнта Фур'є потрібно замінити відповідно на (а) і (a +2 l ).
В
Теорія ймовірностей
Основним поняттям в теорії ймовірностей є поняття події і ймовірності події, які бувають трьох видів:
-Достовірні-подія, яка обов'язково відбудеться.
-Неможливе-подія, яка явно не станеться.
-Випадкове-подія, яка може або відбутися, або не статися.
Події позначаються буквами А, В, С і т.д.
Ймовірність події - буквою Р.
Ймовірність події А називається рівність Р (А) = m/n, n-загальне число можливих елементарних результатів; m-число елементарних фіналів, що сприяють появі події А. Отже:
1. ймовірність достовірної події є 1 (m = n).
2. ймовірність неможливої вЂ‹вЂ‹події є 0.
3. ймовірність випадкової події є позитивне число, укладену між 0 і 1, тобто 1> = Р (А)> = 0. Отже, яке б не було подія, його ймовірність укладена в проміжку [0; 1].
Події називаються несумісними , якщо поява одного з них виключає появу інших подій в одному і тому ж випробуванні.
Наприклад , кинута монета. Подія А-випав герб, В-випала решка. Події А і В - несумісні, тому що, якщо при одному киданні випав герб, то решки вже не буде, тобто несумісні події не можуть з'явитися одночасно. При одному киданні монети не можуть одночасно ...
Події рівноможливі , якщо немає ніяких причин вважати, що одне з них може наступити частіше ніж інше.
Наприклад , поява герба або решки при киданні монети. Або киданні гральних кісток. Знайти ймовірність випадання 6. Р (А) = 1/6-равновозможние несумісні події. p> Події утворюють повну групу, якщо в результаті випробування відбудеться хоча б одна з них.
Сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює 1. p> Наприклад , герб чи решка при випаданні.
Надалі при вирішенні багатьох завдань, а так само в деяких формулах буде присутній поняття з комбінаторики, зване В«поєднанняВ» - поєднання з n по m елементів.
В
число сполучень із n елементів по m. Це число способів, якими можна взяти m елементів з n.
Теореми додавання і множення ймовірностей.
Сумою А + В двох подій А і В називається подія, яке у появу події А або В або їх обох.
Теорема додавання ймовірностей.
Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.
Р (А + В) = Р (А) + Р (В)
Ця теорема поширюється і на n доданків, коли події попарно несумісні.
Приклад.
У ящику 10 деталей, з яких ... пофарбовані. Взяли 3 деталі. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з узятих деталей забарвлена. p> А-хоча б одна забарвлена.
Перший спосіб.
В-одна деталь забарвлена ​​(2 не пофарбовані).
С-дві деталі пофарбовані (1 не пофарбована).
Д-три деталі пофарбовані.
цікавлять події відбудеться, якщо відбудеться одне з трьох подій В, С або Д.
А = В + С + Д.
Р (А) = Р (В) + Р (С) + Р (Д) == 5/6
Другий спосіб.
Розглянемо поняття протилежних подій.
Подією, протилежним події А називається подія, яке поза настанні події А. Очевидно, що події А і несумісні.
Наприклад: А-стрілок вразив мішень; - стрілок промахнувся. Надалі ймовірність появи події А будемо позначати р, а ймовірність появи протилежної події - q.
Теорема : сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1.
Р (А) + Р () = 1 або p + q = 1
А-хоча б одна з деталей забарвлена. Тоді - жодна з трьох деталей не пофарбована. br/>
Р (А) + Р () = 1. Р (А) = 1-Р () = 5/6
Дві події називаються незалежними (залежними ), якщо ймовірність однієї з них не залежить (залежить) від появи або появи іншого.
Твором А * У двох подій А і В, називається подія, яке у спільному наступі події А і В.
Теорема множення ймовірностей незалежних подій.
Ймовірністю спільного наступу двох незалежних подій дорівнює добутку йм...
