овірностей цих подій.
Р (А * В) = Р (А) * Р (В)
Ця теорема поширюється і на n співмножників, коли події попарно незалежні.
Приклад 1 (51).
Два стрільці стріляють по мішені. Ймовірне потрапляння в мішень при одному пострілі дорівнює 0,7 і 0,8 соответств. Знайти ймовірність того, що при одному залпі в мішень потрапить:
А). тільки 1 з стрільців.
Б). Обидва потраплять. p> В). обидва промажут.
A-перший потрапив. В-другий потрапив. p> Р (А) = р 1 = 0,7 Р (В) = р 2 = 0,8
- перший промах. - Другий промах. br/>
Р () = q 1 = 0,3 Р () = q 2 = 0,2
А). Р (A) Р () + Р () Р (B) = p1q1 + p2q2 = 0,38
Б). Р (А) * Р (В) = p1 * p2 = 0,56
В). Р () * Р () = q1 * q2 = 0,6. p> Перевірка: 0,38 +0,56 +0,6 = 1.
Приклад 2. Приклад 3 (55). Приклад 4 (56). p> Ймовірність події А за умови, що відбулася подія В, називається умовною ймовірністю події А і позначається Р В (А) - Ймовірність події А за умови, що подія В вже відбулося. p> Теорема множення ймовірностей залежних подій.
Можливість спільного прояви двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другого.
Р (А * В) = Р (А) * Р А (В)
Р (А * В) = Р (А) * Р В (В)
Ймовірність появи хоча б одного події.
Нехай у результаті випробувань може статися n незалежних подій А1, А2 ..., або деякі з них Р (А1) = р1, Р () = q1 ... Як знайти ймовірність того, що настане хоча б одне з цих подій?
Теорема .
Ймовірність появи хоча б однієї з подій А1, А2 ..., незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій, тобто br/>
Р (А) = 1-q 1 q 2 ... q n
Зауваження.
Якщо всі події мають однакову ймовірність Р, то
Р (А) = 1-q n .
Приклади 82, 87, Д/з.
Формула повної ймовірності.
Події У 1 , У 2 , ..., У n є несумісними і утворюють повну групу, тобто Р (В 1 ) + Р (В 2 ) + ... + Р (В n ) = 1. І нехай подія А може настати лише при появі однієї з подій У 1 , У 2 , ..., У n . Тоді ймовірність події А дорівнює сумі ймовірностей кожного з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А.
Р (А) = Р (В 1 ) Р В1 (А) + Р (В 2 ) Р В2 (А) + ... + Р (В n ) Р В n (А)
Формула Бейеса
Події У 1 , У 2 , ..., У n є несумісними і утворюють повну групу, тобто Р (В 1 ) + Р (В 2 ) + ... + Р (В n ) = 1. І нехай подія А може настати лише при появі однієї з подій У 1 , У 2 , ..., У n . Тоді ймовірність події А знаходиться за формулою повної ймовірності.
Нехай подія А вже відбулося. Тоді ймовірності гіпотез У 1 , У 2 , ..., У n можуть бути переоцінені за формулою Бейеса:
В
Формула Бернуллі
Нехай робиться n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А може або наступити або не наступити. Імовірність настання (Ненастання) події А одна і та ж і дорівнює p (q = 1-p). p> Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія А настане рівно до раз (по фіг, в якій послідовності), знаходиться за формулою Бернуллі:
В
Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія настане:
а). Менш до раз P n (0) + P n (1) + ... + P n (k-1). p> б). Більш до раз P n (k +1) + P n (k +2) + ... + P n (n).
в). Проте до раз P n (k) + P n (k +1) + ... + P n (n).
Г). не більше до раз P n (0) + P n (1) + ... + P n (k).
Локальна та інтегральна теореми Лапласа. p> Цими теоремами ми користуємося в тому випадку, коли n досить велике.
В
Локальна теорема Лапласа
Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія настане рівно 'до' раз, наближено одно:
,
В
Таблиця функцій для позитивних значень (х) наведена в задачнику Гмурмана в Додатку 1, стор.324-325.
Так як парна (), то для негативних значень (х) користуємося тієї самої таблицею.
Інтегральна теорема Лапласа.
Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія наступить не менш 'до' раз, наближено одно:
,
В
Функція Лапласа
В
Таблиця функцій для позитивних зна...
