ми словами, при обчисленні використовуються не, як у методі простої ітерації, а.
4.3 Метод Ньютона
Цей метод (див. [1], [4]) запропонований И.Ньютоном в 1669 році, однак найбільш повне обгрунтування було зроблено радянським математиком Л.В.Канторовичем в 1949 році (див. [4]), тому в літературі цей метод часто називають методом Ньютона-Канторовича.
Метод Ньютона є одним з ітераційних методів, одержуваних лінеаризацією лінійного оператора
,
де з рівняння (2).
Так, для до -го наближення до точного рішення рівняння (2) ставиться у відповідність лінеаризоване рівняння виду (2), а саме:
В
або,
де - квадратна матриця Якобі, складена з приватних похідних першого порядку функцій, тобто , обчислених в точці.
Таким чином, послідовність (4) будується за такими правилами:
(),
де - зворотний оператор до лінійного оператору, обумовленому квадратною матрицею
В
Труднощі побудови алгоритму методу Ньютона, пов'язані з обігом похідної (побудова ), Зазвичай долаються тим, що замість методів поводження матриці вирішують алгебраїчну систему рівнянь (7) щодо невідомих. Алгоритми рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь добре відпрацьовані, для них є стандартні програми для ЕОМ і, крім того, в результаті рішення системи одночасно із зверненням матриці виходить множення зворотної матриці на вектор.
Ітераційна формула методу Ньютона при такому підході буде мати вигляд:
(7)
. (8)
4.4 Модифікований метод Ньютона
Цей різновид методу Ньютона будується шляхом визначення похідної тільки в одній точці наближеного рішення, тобто Послідовні наближення (4) будуються за формулами:
, (9)
де - початкове наближення до точного рішення.
4.5 Метод Зейделя на основі лінеаризованих рівняння
Ітераційна формула для побудови наближеного рішення нелінійного рівняння (2) на основі лінеаризованих рівняння (7) має вигляд:
В
4.6 Метод найшвидшого спуску
Методи спуску (див. [2]) зводять рішення системи (2) до задачі знаходження мінімуму спеціально побудованого функціоналу (функціонал - відображення у R ), а саме:
,
де.
Функціонал в кінцевому просторі R n можна розглядати як функцію багатьох змінних.
Для знаходження точки, в якій функціонал f приймає мінімальне нульове значення, вибирають точку , Знаходять і будують итерационную формулу: з початковим наближенням.
У ітераційної формулою параметр h k поки не визначений, виберемо його таким чином, щоб виконати умову:, починаючи з x 0 , в припущенні, що f - монотонний функціонал.
Для вибору h k побудуємо функціонал, що залежить від параметра, який змінюється безперервно:.
При h = 0 маємо, що f (0) - лінія рівня функціоналу, через точку x k . Для знаходження наступної лінії рівня, ближчою до мінімуму, будемо вибирати h таким чином, щоб для даного x k
В
Ця умова мінімуму по h будемо розглядати як рівняння для отримання h k .
Вирішимо його наближено, тому що помилка в кілька відсотків зазвичай не впливає на швидкість збіжності. Зазначимо до речі, що число h k завжди має бути позитивним. Для цього розкладемо функцію в ряд Тейлора по h в точці h = 0 і візьмемо тільки лінійну частину цього розкладання
.
Підстановка лінійної частини в умову, дає рівняння для наближеного визначення
.
Вирішуючи побудоване рівняння щодо h , отримаємо:
або.
Таким чином, итерационная формула методу найшвидшого спуску має вигляд:
або, де похідні обчислені в точці.
Метод найшвидшого спуску вимагає більшої кількості обчислень, ніж інші методи першого порядку. Однак він володіє в порівнянні з іншими методами важливим перевагою, що полягає в неминучою збіжності процесу. При цьому потрібно пам'ятати, що метод найшвидшого спуску може призвести не до розв'язання системи рівнянь (2) , а до значень аргументу, що дає відносний екстремум функції
, тобто . p> 5. Збіжність методів вирішення нелінійних рівнянь
Якщо метод сходиться, то є, де
- точне рішення
- k-те наближення до точного рішення, то ітераційний процес слід було б закінчити з досягнення заданої похибки, де e - задана точність (погрішність).
Однак практично це ум...
