або в інтегральній формі:
В
Будемо шукати розподіл поля. Для цього розкладемо його на потенційне і вихровий.
= + (2)
Підставляючи (2) в рівняння (1), отримаємо систему рівнянь для відшукання:
(3)
Потенційне полі зручно представити через градієнт
(4)
тому в цьому випадку доводиться знаходити всього лише одну скалярну величину замість трьох. Підставляємо (4) у перше рівняння (3), отримуємо рівняння
- рівняння Пуассона (5)
Його рішення відомо і має наступний вигляд:
. (6)
соленоідальной (Вихровий) поле будемо шукати через векторний потенціал
(7)
Тоді для отримуємо таке рівняння:
(8)
Т.к. полі теж векторне, то для його знаходження крім rot необхідно задати ще одна умова на div . В якості такого умови (яке заздалегідь нізвідки не випливає) зручно вибрати div = 0 (це називається калібруванням Кірхгофа). У цьому випадку рівняння (8) спрощується
(8а)
і його рішення має вигляд:
(9)
Отже, шукане поле дорівнює:
В
Інтегральні співвідношення теорії векторного поля
1. Теорема Остроградського-Гаусса
В
2. Теорема Стокса
В
3. Теорема Гріна
(перша форма)
В
(друга форма)
В
4. Інтеграл від скаляра по замкнутому контуру
В
5. Інтеграл від за обсягом
В В
Використовуючи теорему про середньому при знаходимо
В В
- джерело
- сток
6. Циркуляція вектора вздовж лінії
Роток векторного поля
- елементарна циркуляція вектора вздовж лінії L
- циркуляція вектора вздовж замкнутої лінії.
Теорема Стокса
В В
Механічний сенс ротора векторного поля
Розглянемо рух твердого тіла. Лінійна швидкість довільної точки дорівнює твердого тіла дорівнює
де - швидкість полюса
- миттєва кутова швидкість
В
Уявімо
В
Отже, компоненти швидкостей т. М дорівнюють
В В В
У фіксований момент часу t змінними є тільки координати т., всі інші величини, є постійними
=
В
Диференціювання скалярних і векторних полів
Скалярний полі
В
В
Векторне полі
В В В
Таблиця 1. Операції 2-го порядку
Скалярний поле j
Векторне поле А
В В В
В
grad
немає
;
В
немає
div
В
Ні
В
rot
В
немає
В
Таблиця 2. Диференціювання творів
В В В
В
grad
немає
В
немає
div
В
немає
В
rot
В
немає
+
В
