В В
Звідси випливає, що функція опукла при; увігнута при; точка перегину x = 2
В«диференціального числення ФУНКЦІЙ І ЙОГО ДОДАТОКВ»
. Провести повне дослідження властивостей і побудувати ескіз графіка функції
.
Рішення.
1) Область визначення функції
.
) Функція не є парній або непарній, так як
.
) Тепер знайдемо точки перетину з осями:
а) з Оx:, б) з oy.
) Тепер знайдемо асимптоти.
а)
А значить, є вертикальною асимптотой.
б) Тепер знайдемо похилі асимптоти
В В
Звідси випливає, що
є похилій асимптотой прі.
) Тепер знайдемо критичні точки
В В
не існує при.
)
В
не існує при
x024 +0- Чи не сущ.-0 + --- не сущ. + + + yвозрастает випуклаяmax убуває
випуклаяне сущ.убивает
вогнутаяmin
зростає
вогнутаяПостроім ескіз графіка функції
В
Знайти локальні екстремуми функції
В
Рішення.
Вирішимо систему
В В
Відомо, що необхідною умовою існування екстремуму є рівність нулю приватних похідних.
В
,,
В В
Дві точки підозрілі на екстремум
(0,0), (-1,1)
Для аналізу характеру екстремуму знайдемо другі похідні
В
Знайдемо знаки виразів у підозрілих точках, т.е
і
У точці (0,0) отримаємо 0 і - 9
У точці (-1,1) отримаємо - 6 і - 27
Висновок: в точці (0,0) екстремуму немає,
в точці (-1,1) знаки - + це точка максимуму
Визначити екстремуми функції
,
якщо ху = 100, х> 0, у> 0
Рішення.
Спочатку запишемо функцію Лагранжа
В
.
І досліджуємо її
В В
При,,
При,,
Т.к. то отримуємо одну точку (10,10).
Це точка мінімуму
В«інтегрального числення ФУНКЦІЇ ОДНОГО ПЕРЕМІННОГОВ»
В
1. Знайти невизначений інтеграл
В В
Тому зробимо заміну y = x-1
Тоді x = y +1, dx = dy
Отримаємо
===
функція інтеграл поділ асимптота
Зробимо заміну
В В
==
= arcsinz + C (табличний інтеграл)
= arcsin (повернення до y, x)
= arcsin
2. Знайти невизначений інтеграл
В
Рішення:
Зробимо заміну, тоді, dx = 2ydy
==
Виконаємо ділення з залишком:
на отримаємо, залишок 24
==
В
Перші два інтеграли табличні, в останньому - заміна
Y...
