У цьому зв'язку задача знаходження коренів многочлена виду (1)
В
(1)
представляє особливий інтерес, тому що формули знаходження корінь навіть кубічного рівняння досить складні, а якщо необхідно відшукати корені многочлена, ступінь якого дорівнює, наприклад, 5 - то без допомоги чисельних методів не обійтися, тим більш, що ймовірність наявності у такого многочлена натуральних (або цілих, або точних коренів з з В«короткійВ» дробової частиною) досить мала, а формул для знаходження коренів рівняння ступеня, що перевищує 4, не існує. [1] Де-факто всі подальші операції будуть зводитися лише до уточненню коренів , інтервали яких приблизно відомі заздалегідь. Найпростіше ці В«приблизніВ» коріння знаходити, використовуючи графічні методи.
Для знаходження коренів многочлена існує кілька чисельних методів, але ми зупинимося на тих з них: методі ітерацій, методі хорд і дотичних і методі половинного ділення. br/>
2.2.1. Метод хорд і дотичних (комбінований)
Даний метод заснований на побудові схематичного графіка функції, визначенні інтервалів його перетину з віссю абсцис і наступним В«стисненнямВ» цього інтервалу за допомогою строімого хорд і дотичних до графіка цієї функції. p> Треба відзначити, що існують також окремо метод хорд (дає значення кореня з недоліком) і метод дотичних (з надлишком). Однак перевага комбінованого методу полягає в В«Двосторонньому стисненніВ» розглянутого відрізка. p> Розглянемо наступний випадок:
- дана функція F (x) і побудований її графік;
- визначена допустима похибка Q
-В
на підставі графіка визначений відрізок [a, b], на котрих графік функції перетинає вісь абсцис, отже, на цьому відрізку
рис.1
- існує корінь розглянутого багаточлена. (Позначимо його через A)
Подальший алгоритм зводиться до наступних діям:
1. будуємо дотичну до графіка функції в точці F (b)
2. обчислюємо координату х перетину дотичної з віссю абсцис за формулою (3) і позначаємо її через b '
3. будуємо до графіка функції хорду, що проходить через точки F (a) і F (b). p> 4. Обчислюємо точку перетину хорди з віссю абсцис за формулою (2) і позначаємо її через a '.
a '= a- D a , де (2)
В
b '= b- D b , де (3)
В
Таким чином ми отримуємо новий відрізок [a ', b'], котроим (за визначеннями хорди і дотичній) як і раніше місти рішення рівняння A. p> 5. Тепер приймаємо відрізок [a ', b'] за новий відрізок [a, b] і повторюємо кроки 1-4 доти, поки різниця F (b)-F (a) чи не стане менше спочатку закладеної погрішності Q. Відзначимо також, що після цього рекомендується в якості шуканого рішення взяти середнє арифметичне F (a) і F (b).
Зауваження до методу хорд і...
