(2). Будемо шукати рішення, не рівні тотожно 0, представимо у вигляді добутку u (x, t) = X (x) T (t), (4), де,. p> Підстановка виразу (4) в рівняння (1) дає:
З якого наша задача зводиться до відшукання рішень рівнянь:
Використовуючи цю умову X (0) = 0, X (l) = 0, доведемо, що негативне число, розібравши всі випадки.
a) Нехай Тоді X "= 0 і його загальне рішення запишеться так:
звідки і, що неможливо, так як ми розглядаємо рішення, що не звертаються тотожно в нуль.
б) Нехай. Тоді вирішивши рівняння
отримаємо, і, підпорядкувавши, знайдемо, що
в) Якщо те
Рівняння мають коріння:
отримаємо:
де-довільні постійні. З початкової умови знайдемо:
звідки, тобто
(n = 1,2, ...)
(n = 1,2, ...).
Враховуючи це, можна записати:
(n = 1,2, ...).
і, отже
, (n = 1,2, ...),
але так як A і B різні для різних значень n то маємо
, (n = 1,2, ...),
В
де і довільні постійні, які спробуємо визначити таким чином, щоб ряд задовольняв рівнянню (1), граничним умовам (2) і початковим умовам (3).
Отже, подчиним функцію u (x, t) початковим умовам, тобто підберемо й так, щоб виконувалися умови
Ці рівності є відповідно розкладаннями функцій і на відрізки [0, l] в ряд Фур'є по синусах. (Це означає що коефіцієнти будуть обчислюватися як для непарної функцій). Таким чином, рішення про коливання струни із заданим граничними і початковими умовами дається формулою
де
(n = 1,2, ...)
В
Інтеграл Фур'є
В
Достатні умови представимости функції в інтеграл Фур'є.
Для того, щоб f (x) була представлена ​​інтегралом Фур'є у всіх точках безперервності і правильних точках розриву, достатньо:
1) абсолютної інтегровності на
(тобто інтеграл сходиться)
2) на будь-якому кінцевому відрізку [-L, L] функція була б кусково-гладкою
3) у точках розриву функції, її інтеграл Фур'є визначається напівсумою лівого і правого меж у цих точках, а в точках безперервності до самої функції f (x)
Інтегралом Фур'є функції f (x) називається інтеграл виду:
, де,
.
Інтеграл Фур'є для парної й непарної функції
В
Нехай f (x)-парна функція, яка задовольняє умовам представимости інтегралом Фур'є.
Враховуючи, що, а також властивість інтегралів по симетричному відносно точки x = 0 інтервалу від парних функцій, з рівності (2) отримуємо:
(3)
Таким чином, інтеграл Фур'є парної функції f (x) запишеться так:
,
де a (u) визначається рівністю (3).
Міркуючи аналогічно, одержимо, для непарної функції f (x):
(4)
і, отже, інтеграл Фур'є непарної функції має вигляд:
,
