p> Для абсолютної екпоненціальной стійкості системи (1) в класі М () нелінійностей x = j (s, t), що задовольняють умові
ВЈ j ( s , t)/ s ВЈ (2)
достатньо, щоб при всіх w, - ВҐ В
Re {[1 + w ) ] [ 1 + W (j w )]}> 0. (3)
Круговий критерій випливає з квадратичного критерію для форми F (x, s) = (sx) (xs). Дійсно, як було показано вище, форма F (jw, x) має вигляд
F (jw, x) =-Re {[1 + W (jw)] [1 + W (jw)]} | x |
З цієї формули після скорочення на | x | слід (3).
В (3) В№ - ВҐ, В№ + ВҐ. Випадок, коли або = - ВҐ, або = + ВҐ розглядається аналогічно. p> Круговий критерій являє собою розповсюдження лінійних частотних критеріїв стійкості Найквіста, Михайлова та інших на лінійні системи з одним лінійним або нелінійним, стаціонарним або нестаціонарним блоком. Він виходить з (3), якщо замість передавальної матриці використовувати частотну характеристику лінійної частини W (jw).
Позначаючи комплексну змінну W (jw) = z, розглянемо систему з одного нелінійністю, задовольняє одній з таких умов:
Re [(1 + z ) ( 1 + z)] ВЈ 0, якщо В№ - ВҐ, В№ + ВҐ. (4)
Re [(1 + z) z] ВЈ 0, якщо В№ - ВҐ , В№ + ВҐ. (5)
Re [z (1 + z)] ВЈ 0, якщо В№ - ВҐ, В№ + ВҐ. (6)
Нехай С () - Санаг комплексній площині z, що визначається цими умовами. Кордон В () області обумовлена ​​рівняннями одержуваними з (4) - (6) заміною знаків нерівностей равенствами. Для (4) отримуємо коло, що проходить через точки -1 /, -1/ з центром на осі абсцис , причому область З буде начинкою цієї окружності, якщо> 0, тобто якщо нелінійні характеристики лежать в 1 і 3 квадрантах, і її зовнішністю, якщо сектор () захоплює два суміжних квадранта. Якщо одна із меж сектора збігається з віссю абсцис, тобто якщо = 0 або = 0, то область С буде напівплощиною, а її межа - вертикальної прямої, що проходить відповідно через -1/або -1/. На малюнку 1 показані кордону в площині z для різного розташування секторів () у площині s, x. Там же зображені криві W (jw), w> 0 для неособо випадку, розташовані так, що можлива абсолютна стійкість. Однак тільки пріємлімоє розташування хаоактерістік W (jw) ще недостатньо для судження про абсолютну стійкості: крім цього, потрібно ще вимагати, щоб лінійна замкнутоя система була асимптотично стійкою.
Круговий критерій забезпечує також абсолютну стійкість для системи з будь-яким блоком, вхід s і вихід x якого задовольняють для всіх t нерівності
( sx) (xs) Ві 0 (7)
Малюнок 1, а.
Розглянемо систему, наведену н...
