її підсистема, в іншому випадку - лінійно незалежною. p> Поняття лінійної залежності в скінченновимірних векторних просторах дається в курсі алгебри. Кінцева система векторів V називається лінійно залежною, якщо існують елементи поля одночасно не рівні нулю і такі, що лінійна комбінація. Безліч лінійних комбінацій безлічі векторів векторного простору V з коефіцієнтами з поля P називається лінійною оболонкою цих векторів і позначається. При цьому - є подпространством в просторі V, породженим. Отримуємо Транзитивне відношення залежності. p> Нехай поле є розширенням основного поля Р, а мінімальне подкольцо містить елементи і поле Р. Подкольцо складається з усіх елементів поля, які виражаються через елементи і елементи поля Р за допомогою додавання, віднімання та множення: це будуть всілякі многочлени від з коефіцієнтами з поля Р. Тоді, якщо для всякого елемента існує єдиний запис у вигляді многочлена від як невідомих з коефіцієнтами з поля Р, тобто якщо різні багаточлени від будуть різними елементами подкольца, то система елементів, буде називатися алгебраїчно незалежної над полем Р, в іншому випадку алгебраїчно залежною. Довільна безліч елементів поля Р називається залежним, якщо воно містить кінцеве залежне підмножина. У першому випадку кільце ізоморфно кільцю багаточленів. Ставлення алгебраїчної залежності над полем Р є транзитивним відношенням залежності. p> Нехай на множині A задано рефлексивне і симетричне бінарне відношення (зване ставленням подібності). Підмножина X множини A будемо вважати залежним, якщо воно містить два різних елементи, що знаходяться у відношенні. p> Оболонкою безлічі служить безліч
В
У цьому випадку можна посилити аксіому відносини залежності наступним чином:
Z Z.
Тоді оболонкою множини буде безліч всіх елементів, що у відношенні подібності хоча б з одним елементом із множини. p> Введене відношення залежності буде транзитивним тоді і тільки тоді, коли відповідне бінарне відношення буде транзитивно, тобто є відношенням еквівалентності на.
У разі, коли - відношення еквівалентності буде незалежним тоді і тільки тоді, коли безліч містить не більше одного елемента. Будь-яке максимальне незалежне підмножина буде містити рівно по одному елементу з кожного класу еквівалентності. p> Особливий інтерес представляють транзитивні простору залежності. Важливим результатом є доказ інваріантності розмірності будь-якого транзитивного простору залежності. p> Доведемо деякі властивості, справедливі для транзитивних просторів залежності Z.
Властивість 1: залежить від.
Доказ:
залежить від, тобто, і. Розглянемо, тоді - незалежно і - залежно, а, одержуємо, що, тому. Маємо. p> За визначенням 8 будь-яка підмножина залежить від
Властивість 2: Якщо залежить від, а залежить від, то залежить від.
Доказ:
Запишемо умова, використовуючи властивість 1, а, тоді очевидно, що.?
Властивість 3: Якщо X - мінімальне породжує без...
