ліч в A, то X - базис в A.
Доказ:
Нехай X - мінімальне породжує безліч в A. Покажемо, що воно не може бути залежним, тому що в цьому випадку його можна було б замінити власним підмножиною, все ще породжує A. Дійсно, в силу транзитивності відносини залежності, будь безліч, що породжує безліч X, буде так само породжувати і безліч A. Отже, X - незалежна породжує безліч, яке за визначенням 6 є базисом. p> Властивість 4: для будь-кого.
Доказ: Слід з властивості 3.
Властивість 5 (про заміну.):
Якщо X - незалежна безліч і Y - породжує безліч в A, то існує таке підмножина множини Y, що й - базис для A.
Доказ:
Розглянемо систему J таких незалежних підмножин Z множини A, що.
Так як X незалежно, то такі безлічі існують; крім того, якщо - деяке лінійно упорядкований безліч множин з J, то його об'єднання знову належить J, оскільки Z задовольняє умові, і якщо Z залежно, то деякий кінцевий підмножина множини Z повинно було б бути залежним; це підмножина містилося б у деякій множині в суперечності з тим фактом, що всі незалежні. p> За лемі Цорна J має максимальний елемент М; чинності максимальності кожен елемент множини Y або належить М, або залежить від М, звідки. Цим доведено, що М - базис в A. Так як, то М має вигляд, де задовольняє умовам.? p> Простір залежності Z називається конечномірні, якщо будь-яке його незалежне безліч звичайно.
Теорема 3. p> Нехай Z - Транзитивне простір залежності. Тоді будь-які два базису в цьому просторі рівнопотужні. p> Доказ:
Розглянемо спочатку випадок конечномерного простору.
Нехай В, С - будь-які два базису в А, їх існування забезпечується теоремою 2, і,,, де різні елементи позначені різними літерами або забезпечені різними індексами. Застосуємо індукцію по max (r, s). p> Якщо r = 0 або s = 0, то або, і. Тому можна припускати, що r? 1, s? 1, без обмеження спільності будемо вважати, що r> s, так що насправді r> 1. p> Припустимо, що базиси будуть рівнопотужними для будь-якого t
За лемі про заміну безліч можна доповнити до базису D елементами базису З, скажімо
, t? s
Тепер перетин D c В складається з n + 1 елемента, і D містить, крім того, ще t (
Оскільки r> 1, звідси випливає, що t? 1, і тому перетинання D з С містить не менше ніж n +1 елементів. Використовуючи ще раз припущення індукції, знаходимо, що і, отже, r = s і базиси В і С рівнопотужні. p> Далі, нехай В - кінцевий базис в. Тоді й будь-який інший базис З простору буде кінцевим. Дійсно, У виражається через кінцеве безліч елементів чинності транзитивності буде породжує і незалежною безліччю в, тобто. p> Нарешті, якщо базиси В і С нескінченні. Кожен елемент з В залежить від деякого кінцевого підмножини базису З, і навпаки. Потужність множини всіх кінцевих підмножин всякого нескінченної кількості до...
