теграл
Sn [1, c.108] (1)
Оскільки спосіб розбиття відрізка може бути будь-яким, надалі будемо розбивати [а; b] на рівні частини. У цьому випадку
В
а умова h? 0 рівносильне умові п? ?. Отже, при досить великих п можна покласти:
Конкретизуємо правило вибору ti. Якщо взяти їх рівними лівими кінців відрізків [xi-1; ix], yi-1 = f (xi-1) то отримаємо
[1, c.109] (2)
Прийнявши t1 = xi - праві кінці відрізків [xi-1; xi], yi-1 = f (xi), будемо мати
[1, c.109] (3)
Квадратурна формула (2) називається формулою прямокутників c лівими ординатами, а формула (3) - формулою прямокутників з правими ординатами. Взявши в якості ti середини часткових відрізків, отримаємо формулу прямокутників з центральними ординатами. p align="justify"> Ці назви пояснюються геометричним змістом формул. Як відомо, певний інтеграл від неотрицательной інтегрованої функції на f відрізку [а; b] дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції. Якщо криволінійну трапецію замінити ступінчастою фігурою D, складеної з прямокутників з підставами [xi-1; xi] і з висотами, рівними ординатам точок (xi-1; yi-1) графіка у = f (x) (i = 1, 2, ..., п), то формула (2) висловлює заміну площі криволінійної трапеції на площу фігури D. На малюнку 1 взято п = 2, фігура D з В«лівимиВ» ординатами заштрихована. p align="justify"> Аналогічний сенс має і формула (3).
В
Рис.1. Ступінчаста фігура
.1.2 Формула трапецій
Висновок формули
Розіб'ємо відрізок [а; b] точками а = х0 <х1 <... <Хn = b на n рівних частин однакової довжини і знайдемо yi = f (xi) (i = 0,1, ..., n). На кожному з відрізків [xi-1; xi] функцію f замінимо за формулою лінійного інтерполювання
На відрізку [x0; x1]
В
де
Тоді
Знайдемо правий інтеграл переходом до змінної t:
[5, c.15] (4)
На інших відрізках аналогічні викладки дають
[5, c.15] (5)
Складаємо почленно наближені рівності (4), (5) і в силу адитивності інтеграла отримаємо формулу трапецій:
[5, c.15] (6)
На малюнку 2 показаний геометричний сенс цієї формули при п = 2. Лінійна інтерполяція призводить до заміни графіка функції f ...
