ламаної, що сполучає точки (х0, у0), (х1, y1), ..., (хn, уn) цього графіка. Потім замість криволінійної трапеції розглядають фігуру D, складену з прямолінійних трапецій з підставами y1 і yi +1 і висотою h. Праві частини співвідношень (4) і (5) рівні площами цих прямолінійних трапецій, а (6) означає заміну площі криволінійної трапеції площею фігури D. <В
Рис.2. Криволінійна трапеція
.1.3 Формула Сімпсона
Від квадратурної формули слід очікувати більшої точності, якщо для наближення подинтегральной функції/на часткових відрізках використовувати квадратичне інтерполювання.
Знову розіб'ємо відрізок [а; b] на п рівних частин точками a = x0 і позначимо yi = f (xi) (I = 0, ..., n), але тепер візьмемо парне число п. Тоді можна розглядати В«здвоєніВ» відрізки [х0; х2], [х2; х4], ..., [хn-2; хn] з трьома відомими вузлами і на них функцію f замінювати інтерполяційними многочленами Ньютона другого ступеня (на кожному відрізку свій многочлен).
Для x [х0; х2] маємо
(x) y0 + t y0 + 2 y0 , де t = . [3, c.225] (7)
Обчислимо інтеграл від правої частини на відрізку [х0; х2] із заміною змінної
= х0 + ht:
В В
Отже,
[3c.225] (8)
Аналогічно на інших відрізках:
(i = 2, 4, ..., n - 2) [3, c.227] (9)
Результатом підсумовування всіх отриманих наближених рівностей і буде формула Сімпсона:
[3, c.227] (10)
праву частину, якої позначимо Jn (C)
Формула Сімпсона виглядає більш громіздкою в порівнянні з формулами прямокутників і трапецій, але вона значно точніше їх і може призвести до необхідного результату при менших п.
Теорема 1. Якщо похідна четвертого порядку f (4) подинтегральной функції неперервна на [а; b], то
(C) = (d [а; b]), [3, c.228] (11 )
і тому,
[3, c.228] (12)
Як видно з оцінки Vn M4 , точність формули Сімпсона на два порядки вище точності формули трапецій і формули прямокутників з центральними ординатами. Вона є однією з найуживаніших у практиці обчислення певних інтегралів.
2. Оцінка похибок інтегрування ...
