ві методи є найбільш універсальним способом вирішення лінійних завдань в областях складної форми, які не завжди можна вирішити класичним способом. При вирішенні складається сімейство різницевих задач, яке ставиться у відповідність безперервної завданню. Це сімейство називають різницевої схемою. Різницеві схеми застосовуються як для стаціонарних, так і для нестаціонарних задач, але у випадках стаціонарної і нестаціонарної теплопередач є деякі відмінності в різницевих схемах. Завдання полягає в отриманні наближеного рішення з деякою заданою точністю. Це досягається на шляху переходу від безперервної задачі до дискретної. При побудові дискретної задачі, тобто при апроксимації рівнянь і граничних умов потрібно зберегти за різницевим рішенням характеристики шуканого рішення. Прикладом є властивість консервативності - виконання законів збереження і для різницевої задачі. Консервативні схеми - це різницеві схеми, що виконують закони збереження на сітці. На відміну від консервативних схем, неконсервативні схеми розходяться у разі розривного коефіцієнта теплопровідності. Другим прикладом служить властивість монотонності - виконання принципу максимуму і мінімуму різницевого рішення. Різницеве ​​рішення має сходитися до точного при подрібненні сітки.
Консервативна різницева схема будується в одновимірному або двовимірному випадку. Звичайно елементна схема будується в двовимірному плоскому випадку.
Далі розглядаються способи побудови різницевих схем при вирішенні задач теплопровідності чисельними методами.
Різницеві схеми для задачі стаціонарної теплопровідності.
У разі стаціонарного температурного поля перенесення тепла здійснюється теплопровідністю, а температура описується еліптичним рівнянням другого порядку з певними крайовими умовами.
Для застосування різницевих методів в області зміни змінних G вводять сітку. Всі похідні і крайові умови замінюють різницями значень функції у вузлах сітки. При написанні кожного різницевого рівняння близько деякого вузла сітки береться одне і те ж кількість вузлів, утворить строго певну конфігурацію. Ця конфігурація вузлів, які використовуються для побудови різницевого оператора, називається шаблоном різницевої схеми. Вузли, в яких різницева схема записана на шаблоні, називаються регулярними, а всі інші вузли - нерегулярними. На рис.1.1 показаний приклад прямокутної рівномірної сітки. Тут: - змінні.
В
Рис.1.1 Приклад прямокутної рівномірної сітки, побудованої для прямокутної області зміни змінних G ( x, t).
Для нерегулярних областей в ряді випадків вдається побудувати узгоджену сітку, яка утворена вузлами звичайної прямокутної нерівномірної сітки з вузлами, що лежать на кордоні (ці вузли узгоджені). Приклад узгодженої різницевої сітки для нерегулярної області наведено на рис.1.2
В
Рис.1.2 Приклад нерегулярної узгодженої різницевої сітки.
Вихі...
