Реферат по курсу:
«Основи інформаційних технологій»
Тема № 7
Теоретичні основи методу сіток. Побудова кінцево-різницевої схеми. Похибка апроксимації, стійкість. Основна теорема методу сіток
Зміст
Зміст
. Введення
.1. Завдання для звичайних диференціальних рівнянь
.2. Квадратурні формули
. Метод сіток
.1 Теоретичні основи методу сіток для вирішення задачі Коші
.3 Похибка апроксимації
.3 Стійкість
.4 Основна теорема методу сіток
. Види конечно-різницевих схем
.1 Явна схема 1-го порядку (Ейлера)
.2 Неявна схема 1-го порядку
.3 Неявна схема 2-го порядку
.4 Схема предиктор-коректор (Рунге-Кутта) 2-го порядку
.5 Багатокрокові схеми Адамса
Список літератури
1. Введення
.1 Завдання для звичайних диференціальних рівнянь
Звичайними диференціальними рівняннями можна описати поведінку системи взаємодіючих частинок в зовнішніх полях, процеси в електричних ланцюгах, закономірності хімічної кінетики і багато інших явищ. Тому рішення звичайних диференціальних рівнянь займає одне з найважливіших місць серед прикладних задач фізики, електроніки, хімії і техніки.
Конкретна прикладна задача може призводити до диференціального рівняння будь-якого порядку або до системи таких рівнянь. Відомо, що довільну систему диференціальних рівнянь будь-якого порядку можна привести до деякої еквівалентної системи рівнянь першого порядку. Серед таких систем виділимо клас систем, дозволених відносно похідної невідомих функцій
(1)
Звичайно потрібно знайти рішення системи для значень x із заданого інтервалу.
Відомо, що система (1) має нескінченну безліч рішень, сімейство яких у загальному випадку залежить від m довільних параметрів і може бути записано у вигляді. Для визначення значень цих параметрів, тобто для виділення одного потрібного рішення, треба накласти додатково m умов на функції. Залежно від способу постановки додаткових умов можна виділити два основних типи завдань, що найчастіше зустрічаються на практиці:
крайова (гранична) завдання, коли частина умов задається на кордоні a (при x=a), інші умови - на кордоні b (при x=b). Зазвичай це значення шуканих функцій та їх похідних на кордонах;
задача Коші (задача з початковими умовами), коли всі умови задані на початку відрізка у вигляді
. (2)
При викладі методів вирішення задачі Коші скористаємося компактної записом задачі (1), (2) у векторній формі.
. (3)
Потрібно знайти для a? x? b.
1.2 Квадратурні формули
Формули для обчислення інтеграла отримують таким чином. Область інтегрування [a, b] розбивають на малі відрізки, в загальному випадку різної довжини. Значення інтеграла по всій області дорівнює сумі інтегралів на відрізках. Вибирають на кожному відрізку [xi, xi +1] 1-5 вузлів і будують для кожного відрізка інтерполяційний многочлен відповідного порядку. Обчислюють інтеграл від цього много...
