жні матриці. Даний факт і дав назву подібних ігор - біматричних.
2. Стан рівноваги в біматричних матрицях
Рішенням біматричних ігри є таке рішення, яке в тому чи іншому сенсі влаштовує обох гравців. Дане формулювання дуже розпливчаста, що обумовлюється тим, що в біматричних іграх досить важко чітко сформулювати цілі для гравців. Як один з можливих варіантів - бажання гравця нашкодити своєму супернику на шкоду власним виграшу, або мета буде протилежна.
Зазвичай розглядаються два підходи до вирішення біматричних гри. Перший - пошук рівноважних ситуацій: шукаються умови, коли гра знаходиться в деякому рівновазі, яке невигідно порушувати жодному з гравців окремо. Другий - пошук ситуацій, оптимальних за Парето: знаходження умов, за яких гравці спільними зусиллями не можуть збільшити виграш одного гравця, що не зменшивши при цьому виграш іншого.
Зупинимо свою увагу на першому підході.
У даному підході використовуються змішані стратегії, тобто випадок, коли гравці чергують свої чисті стратегії з певними ймовірностями.
Нехай гравець А вибирає стратегію А 1 , з імовірністю р 1 , А 2 - р 2 , ..., А m - p m , причому
В
Гравець У використовує стратегію У 1 з імовірністю q 1 , B 2 - q 2 , ..., B n - q n , причому
В
В якості критерію "вдалості" ігри візьмемо математичні очікування виграшу гравців, які обчислюються за формулами:
В В
Таким чином, можна сформулювати основне визначення:
Розподіл ймовірностей Р * () і Q () визначають рівноважну ситуацію, якщо для будь-яких інших розподілів P і Q одночасно виконані такі нерівності:
В
Якщо рівноважна ситуація існує, то відхилення від неї невигідно самому гравцеві.
Також справедлива теорема Дж. Неша. Всяка біматричних гра має хоча б одну рівноважну ситуацію в змішаних стратегіях.
3. Загальний принцип рішення біматричних ігор
У першу нерівність системи послідовно підставляються всі чисті стратегії гравця А, при припущенні, що У дотримується своєї оптимальної стратегії. У друге нерівність підставляються всі чисті стратегії гравця В, при припущенні, що А дотримується своєї оптимальної стратегії. p> Отримана система m + n нерівностей, рішення якої дає значення елементів оптимальних змішаних стратегій (P *, Q *) і платежі, одержувані гравцями в точці рівноваги.
Приклад: боротьба за ринок.
А =
В =
Рішення завдання
v B = 5 Г— 1q 1 -2 Г— 1 * (1-q 1 ) - (1-p 1 ) q 1 + (1-p 1 ) (1-q 1 ) = 9 Г— 1q 1 -3 Г— 1-2q 1 +1
Нехай
p 1 = 1 тоді v A = 2-1...
