генеральної сукупності введемо деяку величину Оё, яка обчислюється за результатами вибірки, тобто
Оё = Оё ( X 1 , ..., Х j , ..., Х п ),
звану статистикою.
Так, якщо для оцінки генеральної середньої Оѕ = обрана статистика
Оё = Х * - вибіркова середня, то її значення можуть бути підраховані за результатами вибірки як
В В
Якщо для оцінки генеральної дисперсії D обрана статистика
Оё = D * - вибіркова дисперсія, то її значення можуть бути розраховані за формулою
В В
Статистика Оё є випадкова величина. У ряді випадків можна знайти її розподіл. p> Статистична оцінка повинна бути можливо більш точною. З цією метою до статистики Оё пред'являються вимоги:
1) спроможності,
2) незсуненості,
3) ефективності.
1) Властивість спроможності означає, що розподіл статистики Оё із зростанням обсягу вибірки п концентрується в як завгодно мале округа параметра Оѕ (статистика Оё прагне за ймовірністю до оцінюваного параметру Оѕ). Властивість спроможності виражається граничним рівністю: для будь-якого настільки завгодно малого позитивного числа Оµ
(1.9.1)
Властивість спроможності може бути виражене двома жорсткішими вимогами, які є достатніми умовами спроможності та які легше піддаються практичної перевірці:
і (1.9.2)
2) Властивість незсуненості означає, що за будь кінцевому обсязі вибірки п центр розсіяння статистики Оё (математичне сподівання випадкової величини Оё) збігається зі значенням оцінюваного параметра генеральної сукупності:
М (Оё) = Оѕ - для будь-якого п. (1.9.3)
В
Рис. 1.9.1. Ілюстрація властивостей спроможності
Природно, що при заданому кінцевому обсязі вибірки п з різних можливих статистик для оцінки параметра Оѕ слід вибрати ту статистику, яка, будучи незміщеної, володіє в той же час мінімальним розсіюванням, тобто має мінімальну дисперсію. Остання властивість отримало назву ефективності.
В
Рис. 1.9.2. Порівняння властивостей трьох статистик
На рис. 1.9.2 показані криві розподілу трьох статистик. З них Оё і Оё '- незсунені і тому для побудови оцінки перевага повинна бути віддана статистикою Оё ' з меншою дисперсією. Статистика Оё "володіє ще меншою дисперсією, однак вона менш придатна в якості оцінки, так як її центр розсіювання зміщений щодо параметра Оѕ `.
Статистику Оё, приймаючу для даної вибірки певне числове значення, будемо називати точкової оцінкою параметра Оѕ і позначати тієї ж буквою, що і оцінюваний параметр, позначаючи її зірочкою.
Для побудови точкових оцінок найчастіше застосовують метод аналогії, т. е. для оцінки параметрів генерального розподілу вибираються аналогічні параметри (характеристики) вибіркового розподілу. p> Так, для оцінки частки ознаки у генеральній сукупності p = M/N, генеральної середньої і генеральної дисперсії
В
вибираються статистики (Відповідно):
вибіркова частка р * = , p> вибіркова середня
і вибіркова дисперсія
При цьому в результаті подальшої перевірки встановлюється, що перші дві мають властивість незсуненості, а остання буде володіти цією властивістю, якщо її помножити на коригувальний множник
Умови (1.9.2) і (1.9.3) дозволяють для кінцевого n записати лише наближене рівність:
ξ ≈ ξ * (1.9.4)
Так як вибірка носить випадковий характер, то для різних можливих вибірок випадкова величина Оѕ * може приймати різні значення. Тому виникає завдання доповнити точкову оцінку інформацією про можливу її похибки, тобто оцінити похибку вибірки
Оґ = Оѕ - Оѕ *
Нехай щільність розподілу Оѕ * зображена на рис. 1.9.3. br/> В
Рис. 1.9.3. Довірчі межі
Виберемо інтервал (Оѕ - О• 1 , Оѕ + Оµ 2 ), в якому з досить близькою
до 1 ймовірністю буде укладена величина Оѕ *, тобто
P (-Оµ 1 <Оѕ - Оѕ * <Оµ 2 ) = L - О± (1.9.5 *)
де О± - величина, близька до нуля. p> Це означає, що в більшості вибірок (частка яких становить
1 - О± ) помилка вибірки потрапить в інтервал (-Оµ 1 , Оµ 2 ), і лише у відносно малому числі вибірок (частка яких дорівнює О± ) помилка Оґ вийде за межі інтервалу (-Оµ 1 , Оµ 2 ). Оскільки виробляється одна вибірка, то з практичної достовірністю (тобто з імовірністю 1 - О±) можна вважати, що її помилк...
