ричним простором зазначеним вище природним способом (так, вказані нами норми в просторі неперервних функцій породжують відповідно рівномірну і середньоквадратичнепомилку метрику, тобто породжують простору і відповідно). Протилежне твердження, взагалі кажучи, невірно: не в будь-якому метричному просторі можна ввести норму, оскільки поняття норми вводиться лише в лінійному просторі, а метричний простір може не бути наділене лінійною структурою. Однак, якщо метричний простір наділене лінійною структурою (є лінійним простором), то його завжди можна зробити нормованим, запровадивши норму
Усюди надалі ми будемо розглядати виключно лінійні нормовані простори, причому всюди (у разі необхідності) будемо розуміти, що простір забезпечено природною (індукованої) метрикою .
Нехай тепер - деяка послідовність елементів лінійного нормованого простору L, а - деякий фіксований елемент L. Для кожного номера n знайдемо . Тим самим отримаємо числову послідовність .
Визначення. Елемент лінійного нормованого простору L називається межею послідовності елементів , якщо
(або ).
Позначення: (якщо необхідно, то вказують, за якою нормі розглядається межа).
Якщо послідовність має межу, то вона називається сходящейся (за нормою даного простору), в іншому випадку - розбіжної .
Приклад. Розглянемо послідовність функцій в просторі . Функція є її межею, тому
при .
Проте в просторі ця ж сама послідовність розходиться. Дійсно, припустимо, що у рівномірній метриці. Тоді
В
При кожному фіксованому
,
очевидно,
,
і, отже,
, тобто
Але ...
