.1.1 Лінійні оператори
У векторному просторі завдань оператор, або Перетворення, А, ЯКЩО шкірному вектору свячень у відповідність Певний вектор або,.
Оператор (Перетворення) назівається лінійнім, ЯКЩО для будь-яких двох векторів х та у з та довільного числа віконується:
);
).
Вектор назівається чином вектора, а вектор х - прообразом вектора при перетворенні.
Віберемо в просторі базис. Тоді ЯКЩО
,
то в силу лінійності оператора маємо
,.
Альо того что (де) - це теж вектора з, ті можна розкласті по базісі.
Нехай
,
Тоді
В
Если координат та вектора в ТІМ ж базісі ех, е2, ..., єп, тоб ЯКЩО
,
ті, через одінічність розкладання вектора по базісі, маємо
,
(1.1)
В
Кожному лінійному операторові в даним базісі відповідає матриця
, (1.2)
-й стовпець Якої Утворення коефіцієнтамі розкладання вектора по базісі; при цьом КОЕФІЦІЄНТИ розкладань (1.1) координат вектора по координатах вектора утворюють рядки матріці А.
Если у векторному просторі завдань базис, то шкірному лінійному операторові відповідає Певна квадратна матриця порядку та, Оберн, Кожній такій матріці відповідає Певний такий оператор. Тому лінійній оператор и відповідну Йому (у даним базісі) матриці ми будемо позначаті однієї й тією же буквою:,, - лінійні оператори. А, В, З - відповідні їм матріці. Матриця А назівається матрицю лінійного оператора. p> Легко Бачити, что для всякого лінійного оператора
.
При цьом, ЯКЩО Тільки при х = 0, то оператор назівається НЕ вироджених; ЯКЩО ж знайдеться такий вектор, что, то оператор - вироджених. Отже, для того, щоб оператор БУВ НЕ вироджених, звітність, ї й достатньо, щоб Визначник матріці А цього оператора (у будь-якому базісі) БУВ відмінний від нуля. Матриця, Визначник Якої відмінний від нуля, назівається НЕ вироджених матрицю. br/>
1.1.2 Власні Вектори ї Власні Значення лінійного оператора
Вектор назівається власним вектором лінійного оператора, ЯКЩО знайдеться таке число, что; це назівається відповіднім вектору х власним значень оператора (матріці А).
1.1.3 Знаходження власного Значення ї власного вектора лінійного оператора
Припустиме, что х - власний вектор, а відповідне Йому власне Значення лінійного оператора. Тоді. Віберемо в просторі який-небудь базис, и нехай, а матриця оператора А в цьом базісі А = []. Тоді
.
Звідки, через одінічність розкладання вектора по базісі
(1.3)
Для Існування ненульового решение цієї (однорідної) системи пільг в ї й достатньо, щоб ее Визначник БУВ дорівнює нулю:
. (1.4)
Або, більш коротко,
. (1.5)
Рівнян...
