равило modus ponens: якщо виведені формули A і, то виведена і формула B.
Фундаментом класичної логіки служать логіка суджень і логіка предикатів (сіллогістіка). Досі доказ різних логічних законів ведеться на основі громіздких таблиць істинності, що зайвий раз свідчить про низький професійний рівень В«класиківВ». Перехід до аналітичних методів докази гранично простий, але чомусь ніхто з В«логіківВ» до нього не додумався. Можливо В«професіоналівВ» відлякує мінімізація логічних функцій. Дійсно, якщо використовувати традиційні методи (Квайна, Блека - Порецкого), то проводити аналітичний доказ не захочеться. Тому ще в 1977 р. були розроблені алгоритми для роботи з картами Карно. На основі цих алгоритмів були розроблені нові методи аналізу і синтезу законів логіки суджень, силогізмів, смітить, полісіллогізм і рішення логічних рівнянь. Розглянемо алгоритм. p> Алгоритм аналізу (докази) законів логіки суджень надзвичайно простий (тут і далі апостроф означає заперечення):
) провести заміну всіх знаків імплікації на символи диз'юнкції відповідно з відомою формулою x В® y = x + y;
) привести отриманий вираз за допомогою закону Де Моргана до діз'юнктівной нормальній формі (ДНФ);
) занести ДНФ в карту Карно і переконатися, що вона вся покрита одиницями - це свідчить про істинності перевіряється закону або судження.
Скористаємося алгоритмом В«ІмпульсВ» для доказу найбільш цікавих законів логіки суджень.
Закони імплікатівних силогізмів.
. Якщо [(якщо р, то q) і (якщо р, то r)], то [якщо р, то (q і r)]. br/>
[(p В® q) (p В® r)] В® (p В® qr) = [(p + q) (p + r)] + (p + qr) =
= (p + qr) + p + qr = 1.
. Якщо [(якщо р, то q) і (якщо r, то s)], то [якщо (р і r), то (q і s)]. p> [(p В® q) (r В® s)] В® (pr В® qs) = [(p + q) (r + s)] + p + r + qs =
= pq + rs + p + r + qs = 1.
. Якщо [(якщо р, то q) і (якщо q, то r)], то (якщо р, то r). br/>
[(p В® q) (q В® r)] В® (p В® r) = pq + qr + p + r = 1.
. Якщо [(якщо р, то q) і (якщо r, то q)], то [якщо (р або r), то q]. br/>
[(p В® q) (r В® q)] В® [(p + r) В® q] = pq + rq + pr + q = 1.
Такі закони можна В«винаходитиВ» і доводити десятками. У всіх висновках застосовувалася аналітична мінімізація логічних функцій. p> Ставлення числень до семантикою виражається поняттями семантичної придатності та семантичної повноти обчислення. Обчислення І називається семантично придатним для мови Я, якщо будь-яка виводиться в І формула мови Я є вірною. Аналогічно, обчислення І називається семантично повним у мові Я, якщо будь-яка вірна формула мови Я виведена в І.
Багато з розглянутих у математичній логіці мов володіють семантично повними і семантично придатними численнями. Зокрема, відомий результат К. Геделя про те, що так зване класичне числення предикатів є семантично повним і семантично придатним для мови класичної логіки предикатів першого порядку. З іншого боку, є...
