увань, тобто n раз заміряв швидкість окремої молекули (першою-ліпшою) з числа тих, що заповнюють наш циліндр. І нехай-число тих молекул, швидкість яких потрапила в. Тоді. (Порівняти з киданням монети!). Щільність розподілу - функція трьох змінних, компонент вектора, де - орти координатних осей декартової системи координат.
Поряд з випадковим вектором введемо в розгляд скалярну випадкову величину, рівну проекції вектора швидкості на деяку пряму, і її щільність розподілу. Природно припустити, що вид функції не залежить від напрямку прямої, що задається ортом. Це означає, зокрема, що компоненти вектора (проекції на орти) - Випадкові величини мають одну і ту ж щільність розподілу.
Між й існує зв'язок:
, оскільки
В
для довільного інтервалу на координатної осі.
Дійсно, що стоїть ліворуч інтеграл дорівнює частці молекул ПТДС, перша компонента швидкості яких належить інтервалу, а й можуть брати будь-які значення. Адже умова не накладаються на них ніяких обмежень. Саме тому справедливо рівність (**), а разом з ним і (*). p> Отже, - частка молекул, перша компонента яких належить округа значення першої компоненти швидкості. Тоді - частка молекул, у яких додатково відомо, що друга компонента швидкості належить околиці точки на другий координатної осі (при тому, що перша ...).
Аналогічним чином є частка молекул, вектор швидкості яких належить прямокутного паралелепіпеда з ребрами навколо точки. Але той же сенс має і вираз, звідки ми отримуємо співвідношення
.
Мовою теорії ймовірностей така рівність означає незалежність випадкових величин, представляють собою компоненти вектора швидкості молекули ідеального газу в декартовій системі координат в умовах термодинамічної рівноваги. Метод отримання цієї рівності не представляє собою докази, а лише пояснює мотиви, за якими воно приймається нами за постулат.
Ясно, що за своїм змістом функції і задовольняють умовам:
1) , p> 2) , p> 3) br/>
і, аналогічно (як слідство),
1) , p> 2) . br/>
Вправа. Показати, що залежить тільки від або, що все одно, від.
Далі буде знайдено явне вираз для функцій і.
3. Тиск газу на стінки і рівняння стану ідеального газу
При пружному зіткненні молекули з поршнем відбуваються наступні події:
1) перша компонента вектора, яка до зіткнення була позитивною, зберігаючи свою абсолютну величину, змінює знак на протилежний, тобто вектор після зіткнення перетворюється у вектор
2) для нерухомої стінки закон збереження імпульсу, дає рівність, де - сила, що діє на поршень з боку молекули в процесі зіткнення, - імпульс, який придбала стінка в процесі зіткнення.
Оскільки співудар триває дуже недовго, єдина (перша) компонента вектора має графік виду
В
За малий проміжок часу відбувається величезна кількість таких зіткнень, і на поршень, таким чином, буде з боку газу діяти сила із середнім за часом значенням,
де індексом занумеровані сили, що відповідають індивідуальним соударением, що стався за проміжок часу.
Всі молекули, перша компонента швидкості яких, знаходяться всередині обсягу за час встигнуть долетіти до поршня і передати йому імпульс, рівний. Те ж саме можна (з малою похибкою) сказати і про молекули, швидкість яких належить околиці точки.
Загальне число таких молекул рано, очевидно, висловом
,
переданий ними поршню імпульс дорівнює
,
а сумарний імпульс, переданий поршню за час з довільним, виявляється рівним за величиною
В
,
де - повна кінетична (а іншої ніякої немає) енергія ідеального одноатомного газу, що заповнює наш посудину. Але
,
і, в силу (1.3),. Якщо в цій рівності позначити, то ми отримаємо стану ПТДС для випадку одноатомного газу виду
,
де - тиск газу, - обсяг, заповнений газом, а - його повна внутрішня енергія.
З рівності (2.3) видно, що під повною внутрішньою енергією ПТДС розуміється вираз
В
У теорії ймовірностей вираз називається математичним очікуванням функції від випадкової величини, рівної в нашому разі.
У загальному випадку
.
Вправа. Скориставшись фізичною інтерпретацією щільності розподілу за швидкостями для ідеального газу, описаної раніше, показати, що в (4.3) дорівнює сумі кінетичних енергій окремих молекул, з яких складається газ, що заповнює ПТДС.
З (4.3) видно, що
,
тобто математичне сподівання для кінетичної енергії молекули в одноатомними ідеальної газі дорівнює середньому значенням його повної енергії, що припадає на одну молекулу.
4. Теплообмін і температура
Вже повсякденний досвід свідчить: за тепловому контакті двох тіл те з них, яке на дотик сприймається як більш гаряче, стає х...
