льбротом, звучить так: «фрактали називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні цілого».
Слід зазначити, що слово «фрактал» не є математичним терміном і не має загальноприйнятого суворого математичного визначення. Воно може вживатися, коли розглянута фігура володіє якими-небудь з перерахованих нижче властивостей:
1. Володіє нетривіальною структурою на всіх шкалах. У цьому відмінність від регулярних фігур (таких, як коло, еліпс, графік гладкої функції): якщо ми розглянемо невеликий фрагмент регулярної фігури в дуже великому масштабі, він буде схожий на фрагмент прямій. Для фрактала збільшення масштабу не веде до спрощення структури, на всіх шкалах ми побачимо однаково складну картину.
2. Є самоподобной або наближено самоподобной.
. Володіє дробової метричної розмірністю або метричної розмірністю, яка перевершує топологічну.
. Може бути побудована за допомогою рекурсивної процедури.
Багато об'єктів в природі мають фрактальними властивостями, наприклад узбережжя, хмари, крони дерев, кровоносна система і система альвеол людини або тварин.
Фрактали, особливо на площині, популярні завдяки поєднанню краси з простотою побудови за допомогою комп'ютера.
Фрактали - це насамперед мова геометрії. Проте їх головні елементи недоступні безпосередньому спостереженню. У цьому відношенні вони принципово відрізняються від звичних об'єктів евклідової геометрії, таких, як пряма лінія або коло. Фрактали виражаються не в первинних геометричних формах, а в алгоритмах, наборах математичних процедур.
Ці алгоритми трансформуються в геометричні форми за допомогою комп'ютера. Репертуар алгоритмічних елементів невичерпний. Оволодівши мовою фракталів, можна описати форму хмари так само чітко і просто, як архітектор описує будівлю за допомогою креслень, в яких застосовується мова традиційної геометрії.
2. Класифікація фракталів
Геометричні фрактали. Фрактали цього класу самі наочні. У двомірному випадку їх отримують за допомогою деякої ламаної (або поверхні в тривимірному випадку), званої генератором. За один крок алгоритму кожний з відрізків, складових ламану, замінюється на ламану-генератор, у відповідному масштабі. В результаті нескінченного повторення цієї процедури, виходить геометричний фрактал.
Алгебраїчні фрактали. Це найбільша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів в n-мірних просторах. Найбільш вивчені двомірні процеси. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічну систему, можна користуватися термінологією теорії цих систем: фазовий портрет, сталий процес, аттрактор і т.д.
Відомо, що нелінійні динамічні системи володіють декількома стійкими станами. Той стан, в якому опинилася динамічна система після деякого числа ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожне стійкий стан (або як кажуть - аттрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково потрапить в розглянуті кінцеві стани. Таким чином фазовий простір системи розбивається на області тяжіння аттракторов. Якщо фазовим є двомірний простір, то забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати колірний фазовий портр...
