тою існує зв'язок
.
Одиниця частоти - герц (Гц): це частота періодичного процесу, при якому за одну секунду відбувається один цикл процесу. Розмірність частоти
.
Аналогічно
.
Запишемо першу та другу похідні за часом від гармонічно коливається величини
.
Маємо
Порівнюючи ці формули, бачимо, що гармонійно коливається величина підпорядковується диференціального рівняння
.
Або
.
Існує спеціальний розділ математики - диференціальні рівняння, в яких досліджуються методи вирішення таких рівнянь. Ми надалі будемо вважати, що, якщо задано диференціальне рівняння
,
то його рішенням буде функція
,
де величини А і? приймають будь-які значення. Для визначення цих значень необхідно задати початкові умови, тобто значення і в початковий момент часу:
Вирішуючи систему цих рівнянь, можна виразити А і? через і.
2. Коливання пружинного маятника
Розглянемо найпростіший випадок коливань пружинного маятника, який являє собою масу т, закріплену на кінці пружини. Відомо, що при розтягуванні або стисненні пружини на величину х виникає повертає сила, спрямована у протилежний бік
де k - жорсткість пружини.
Схема пружинного маятника показана на малюнку
Схема
На малюнку (а) показано стан нерастянутой пружини. Початок координат збігається з рівноважним положенням маси в стані нерастянутой пружини. На малюнку (б) показано стан розтягнутої пружини, коли маса зміщена вправо на величину х. Складемо рівняння коливань такої механічної системи. Маємо:
.
Отже, рух пружинного маятника описується диференціальним рівнянням коливань. Рішенням цього рівняння буде функція
.
Значення амплітуди А і початкової фази? визначаються початковими умовами, тобто умовами в початковий момент часу t=t0. Частота коливань маятника залежить від жорсткості пружини і маси вантажу і для обраного маятника є величиною постійною.
Визначимо енергію пружинного маятника і її зміна при коливаннях. Кінетична енергія
.
Для визначення потенційної енергії розтягнутої пружини скористаємося умовою
.
Тут передбачається, що зміна потенційної енергії пружини відбувається за рахунок роботи, що здійснюється при розтягуванні пружини. Проинтегрируем
.
Отже, потенційна енергія розтягнутої пружини визначається виразом
.
Повна енергія пружинного маятника є величиною постійною і залежить від амплітуди і частоти коливань. Потенційна і кінетична енергії пружинного маятника залежать від часу і є періодичними функціями.
3. Математичний і фізичний маятники
Математичним маятником називається фізична система, що складається з матеріальної точки маси т, підвішеної на нерозтяжної нитки довжини l і коливається під дією сили тяжіння.
Рис.
Запишемо основне рівнян...
