ня динаміки обертального руху
,
де
.
Звідси отримаємо
.
Використовуючи позначення
,
можемо записати основне рівняння коливань
.
Загальне рішення цього рівняння
.
З отриманих формул видно, що період і частота коливань математичного маятника
.
не залежить від маси матеріальної точки і при фіксованому значенні g повністю визначаються довжиною маятника l.
Фізичним маятником називається тверде тіло, здатне здійснювати коливання навколо нерухомої точки, яка не співпадає з його центром інерції.
Розглянемо коливання фізичного маятника.
Рис.
Тут О - точка підвісу, С - центр мас тіла, - відстань між точкою підвісу і центром мас. Рівняння руху
де J - момент інерції твердого тіла. Для моменту сил можна написати
Підставами ці значення в рівняння руху
де частота коливань визначається виразом
.
Відзначимо, що математичний маятник є окремим випадком фізичного маятника, і частота коливань математичного маятника виходить з попередньої формули при Загальне рішення рівняння коливань фізичного маятника так само, як і для математичного маятника має вигляд
.
Розглянемо питання про енергію фізичного маятника. Кінетична енергія
.
Потенційна енергія:
Повна енергія:
.
Як видно з останньої формули, повна енергія маятника зберігається в процесі коливань.
4. Затухаючі коливання
Розглянемо коливання маятника при наявності сил тертя. Крім повертає сили тут з'являється сила тертя, яку будемо вважати пропорційною швидкості:
,
де r - коефіцієнт тертя.
У цьому випадку рівняння коливань приймає вид
.
Введемо позначення:
,,
де - коефіцієнт загасання.
Тоді рівняння коливань приводиться до виду
.
Рішення цього рівняння
,
де - частота коливань при наявності загасання. Вираз
називають амплітудою затухаючих коливань. Залежність x (t) має вигляд
Рис.
Часом релаксації називається величина?=1 /?. Амплітуду затухаючих коливань запишемо у вигляді
.
При t =? амплітуда зменшується в е раз.
Для характеристики затухаючих коливань вводять різні величини. Розглянемо деякі з них.
логарифмічний декремент затуханий називається величина, що дорівнює логарифму відношення амплітуд коливань, що відрізняються на період.
.
Тут
період згасаючих коливань.
Часто використовується також величина
,
звана добротністю.
Для амплітуди коливань можна записати
.
Враховуючи формулу
,
можна записати
,
де - число коливань, що здійснюється маятником за час, коли амплітуда коливань зменшується в раз.
5. Вимушені коливанн...
