юванням, оскільки передбачувана модель диференціальної стохастичної системи буде математичної. p> Що ж стосується методу, то виконання поставленої задачі моделювання існують різні методи. У першій групі цих методів потрібно побудувати щільність ймовірності в аналітичному вигляді, коли система описується нелінійними стохастичними рівняннями, що неможливо при даній постановці завдання, оскільки ми не можемо знайти щільність ймовірності в аналітичному вигляді. Тому виконаємо математичне моделювання безперервно-стохастичне системи з використанням чисельного методу.
В якості чисельного методу для вищевказаного моделювання скористаємося методом Ейлера, тому що він найбільш оптимально підходить для вирішення даної задачі, оскільки може забезпечити цілком прийнятну точність розрахунків при відносній простоті. Безумовно, існує ряд інших методів, які забезпечують більш високу точність, наприклад метод Рунге Кутта, але вони є значно складнішими. p> Збіжність застосовуваного методу (методу Ейлера) забезпечується Середньоквадратичний. У Як критерій для вибору кроку будемо застосовувати відносну похибку середньоквадратичного відхилення. p> Якщо цей критерій менш або дорівнює 0.05, то результат задовільний, інакше необхідно зменшити крок інтегрування в 2 рази і за
вторити ітерацію.
1.2 Постановка завдання
Виходячи з вище розглянутого матеріалу уточнюємо і формулюємо постановку завдання:
Виконати моделювання процесу надходження до системи на ЕОМ, стан якої описується стохастичним диференціальним рівнянням, використовуючи такі дані:
з наступними параметрами:
В
де
і - параметри спектральної щільності, p>,, і - коефіцієнти рівняння,
і початковими умовами:
В
і часом моделювання 120 сек, причому відносна похибка середньоквадратичного відхилення,
якщо:
а) випадкове вплив має спектральну щільність;
б) якщо випадкове вплив X (t) є білим шумом.
В
Моделювання виконується з метою обчислення кількості ординат випадкового процесу y (t), які виходять за рівень
2 Побудова чисельної моделі диференціальної стохастичної системи.
В
Виконаємо математичне моделювання процесу надходження до системи. p> Будемо використовувати нелінійне стохастичне рівняння 2-го порядку, (1)
де - випадковий процес.
Для реалізації математичної моделі у випадках:
а) випадкове вплив має спектральну щільність, (2)
де
В
- кругова частота;
- коефіцієнт загасання кореляційної функції;
- середня частота кореляційної функції.
а) якщо випадковий процес має спектральну щільність.
Білий шум - стаціонарний випадковий процес з нульовим математичним очікуванням і кореляційної функцією, рівної дельта-функції.
Моделювання білого шуму здійснюється за наступною формулою:
, (3)
де
-незалежна випадкова величина з нормальним законом розподілу з m x = 0 і D x = 1,
N o - коефіцієнт інтенсивності білого шуму або висота спектральної щільності.
Моделювання випадкового впливу з спектральної щільністю здійснюється стохастичним диференціальним рівнянням другого порядку
; (4)
в систему рівнянь 1-ого порядку, для цього введемо спеціальні змінні:
(5)
В результаті отримаємо таку систему 1-го порядку:
(6)
Застосовуємо до кожного рівняння метод Ейлера
(7)
отримаємо таку чисельну модель:
(8)
У випадку а) коли випадкове вплив - білий шум, аналогічно, математична модель буде мати вигляд:
(9)
При моделюванні безперервної стохастичною моделі слід виконати такі дії:
1) Підбір коефіцієнта інтенсивності білого шуму (його ми здійснимо за допомогою табуляції функції
,
її максимальне значення і буде потрібним кроком);
2) розробити датчик випадкових чисел з нормальним законом розподілу.
В
В
Для цього необхідно:
- згенерувати два випадкових числа з рівномірним законом розподілу, 1-е число, а друге число
(Малюнок 1);
- порівняти, якщо V 1 > f (V 1 ), то всі числа відкидаються і генерація повторюється заново, інакше менше число приймається як вірне;
3) вибрати довільний крок табулирования;
4) отримати значення з систем рівнянь (8), (9);
5) перевірити збіжність - перевірка виконується Середньоквадратичний за формулою
, (10)
Якщо похибка середньоквадратичного відхилення менш або дорівнює 0.05, то отримані значення вважаються рішенням, інакше необхідно зменшити крок у 2 рази і повторити ітерацію.
Причому у випадку, де X (t) - білий шум забезпечуємо збіжність тільки по x
