тіло має кінетичної енергією
, (1)
де I - момент інерції тіла відносно даної нецентральной осі. Проведемо через центр мас С вісь ОО, паралельну даної нецентральной осі. Тоді обертання твердого тіла можна представити як результат обертання центра мас С навколо осі і обертання твердого тіла навколо центральної осі ОО теж з кутовою швидкістю w. Кінетичну енергію теж можна представити як суму двох доданків:
, (2)
де - лінійна швидкість центру мас. C урахуванням (1) і (2) отримуємо
- теорема Штейнера.
Теорема Штейнера: Момент інерції I щодо довільної осі дорівнює сумі моменту інерції I0 щодо осі, паралельної даній і проходить через центр мас тіла, і твори маси тіла m на квадрат відстані d між осями:
Таким чином, теорема Штейнера, по суті, зводить обчислення моменту інерції відносно довільної осі до обчислення моменту інерції відносно осі, що проходить через центр мас тіла.
Момент імпульсу твердого тіла відносно закріпленої осі. Головні осі і головні моменти інерції
Розглянемо тверде тіло, яке може обертатися навколо нерухомої вертикальної осі. Візьмемо на осі обертання точку О і будемо характеризувати положення утворять тіло матеріальних точок за допомогою радіус-векторів, проведених з цієї точки. На малюнку показана i-я матеріальна точка з масою. Згідно з визначенням момент імпульсу i-ой матеріальної точки відносно точки О дорівнює
,
або, використовуючи зв'язок,
.
Для розкриття подвійного векторного твори скористаємося формулою
.
кінетичний енергія обертання інерція
Ми бачимо що, момент імпульсу i-ой матеріальної точки не впорається за напрямком з кутовий швидкістю, і його можна представити як суму двох складових: осьової і радіальної
.
Момент імпульсу всього твердого тіла дорівнює
або
де I - момент інерції твердого тіла відносно осі обертання, - складова моменту імпульсу тіла, перпендикулярна осі обертання. .
Неважко збагнути, що для однорідного тіла симетричного відносно осі обертання (для однорідного тіла обертання) сумарний момент імпульсу спрямований вздовж осі обертання в ту ж сторону що і, і дорівнює
.
Дійсно в цьому випадки тіло можна розбити на пари рівних за масою, розташованих симетрично матеріальних точок. Сума моментів кожної пари спрямована вздовж вектора, отже, і сумарний момент імпульсу буде збігатися за напрямком з і дорівнює.
Для несиметричного (або неоднорідного) тіла момент імпульсу, взагалі кажучи, не збігається за напрямком з вектором. При обертанні тіла вектор повертається разом з ним, описуючи конус.
Зауважимо, що в разі обертання однорідного симетричного тіла, сили бічного тиску підшипників на вісь не виникають. У відсутність сили тяжіння підшипники можна було б прибрати, - вісь і без них зберігала б своє положення в просторі. Вісь, положення якої в просторі залишається незмінним при обертанні навколо неї тіла у відсутності зовнішніх сил, називається вільною віссю тіла
Можна довести, що для тіла будь-якої форми і з довільним розподілом мас існують три взаємно перпендикулярні, що проходять через центр мас осі, які можуть служити вільними осями: ці осі називают...
