Нехай Q * - безліч всіх відмінних від нуля раціональних чисел із звичайним множенням і унарною операцією - 1 - операцією переходу від числа а до зворотного числу a - 1. Алгебра Q =(Q *,, - 1) є групою. Ця група називається мультиплікативної групою раціональних чисел.
. Нехай R-множина всіх дійсних чисел із звичайним складанням і унарною операцією -, що ставить у відповідність кожному дійсному числу r протилежне чисел - r. Алгебра R *=(R, +, -) є групою. Вона називається адитивною групою дійсних чисел.
. Нехай R * - множина всіх відмінних від нуля дійсних чисел із звичайним множенням і унарною операцією - 1 ставить у відповідність кожному відмінному від нуля числа r зворотне число r-- 1. Алгебра R *=(R *,, - 1) є групою. Ця група називається мультиплікативної групою дійсних чисел.
1.2 Підгрупи
Нехай G =(G,, - 1) - група.
підгруп групи G називається будь підалгебра цієї групи.
Більш докладно відповідно до визначення подалгебри визначення підгрупи можна сформулювати наступним чином.
Алгебра H =(H,, - 1) типу (2, 1) називається підгрупою групи G =(G,, - 1), якщо HG і тотожне відображення безлічі H в G є Мономорфизм алгебри H в G тобто виконуються умови:
1) ab=ab для будь-яких a, b з H;
) a - 1=a - 1 для будь-якого a з H.
Запис H G означає, що алгебра Н є підгрупою групи G.
Якщо Н G то з визначення підгрупи випливає, що безліч Н замкнуто в групі G значить застосування будь головної операції групи G до елементів з Н призводить знову до елементу з Н. Крім того, в силу умов (1) і (2) кожна головна операція алгебри Н є обмеженням відповідної головної операції групи У безліччю Н.
Теорема 1.1. Будь підгрупа групи є групою. Нейтральний елемент групи є нейтральним елементом будь-який її підгрупи.
Доказ. Нехай Н =(Н,, - 1) - підгрупа мультиплікативної групи
G =(G,, - 1) і е - нейтральний елемент групи G .
Бінарна операціяалгебри Н асоціативна, так як в силу (1) для будь-яких a, b, c з H маємо
a (bc)=a (bc)=(ab) c=(ab) c.
Елемент e належить H, так як в силу (1) і (2) для будь-якого a з H маємо
e=aa - 1=aa - 1 H. У силу (1) для будь-якого a з H вірні рівності ae=ae=a, тобто e є правим нейтральним елементом щодо операції
В силу (2) для будь-якого a з H отримуємо aa - 1=aa - 1=e, тобто aa1=e. Отже, алгебра H є групою та e - її нейтральний елемент.
Нехай G =(G,, - 1) - мультиплікативна група і A-непорожнє підмножина безлічі G, замкнутий щодо головних операцій групи G . Нехай - 1 - обмеження головних операцій групи G безліччю, тобто
ab для будь-яких a, b з A; =A - 1 для будь-якого a з A;
(3) A =(A,, - 1)
є підгрупою групи G . Таким чином, підгрупа А групи G однозначно визначається непустою підмножиною А, замкнутим в G . Тому замість запису (3) пишуть: «підгрупа А =(А,, - 1)» або кажуть: «безліч А є підгрупою групи G щодо операцій і - 1» .
Теорема 1.2. Бінарне відношення («бути підгрупою») на множині підгруп даної групи рефлексивно, транзит...
