перервні процеси, які моделюються системою диференціальних рівнянь. У таких процесах час змінюється безперервно в межах якогось проміжку. Якщо ж час може приймати лише дискретну безліч значень, наприклад t=0,1, K, T? 1, то ми будемо мати справу з дискретним об'єктом управління.
Часто дискретні процеси називають багатокроковими. У кожен момент часу (або на кожному кроці) такі процеси характеризуються двома наборами змінних: і. Це відповідно вектор стану і вектор управління. Стан на t +1- му кроці визначається звичайно-різницевим рівнянням
(2.3.1)
де - задана вектор-функція.
У деяких випадках буває зручно записувати (2.3.1) в координатах:
...
Таким чином, (2.3.1) - це система звичайно-різницевих рівнянь. Вона називається лінійної, якщо має вигляд
де - матриці розмірності і відповідно. Якщо ці матриці не залежать від часу t, то ми будемо мати лінійну стаціонарну дискретну систему.
Послідовність називається дискретним управлінням.
Дискретне управління називається допустимим, якщо воно задовольняє умові
де - заданий безліч в просторі
Припустимо, що задано положення об'єкта в момент, тобто поставлено початкова умова
У цьому випадку дискретне управління однозначно визначає відповідну йому траєкторію - рішення системи (2.3.1). Таким чином, дискретна траєкторія - це послідовність
Розглянемо пару, де - допустиме дискретне управління, - відповідна дискретна траєкторія. Таку пару будемо називати допустимої. Нехай на множині допустимих пар заданий деякий функціонал, який визначає якість процесу. Сформулюємо задачу оптимального управління. Потрібно знайти допустиме дискретне управління і відповідну дискретну траєкторію (тобто рішення задачі (2.3.1) - (2.3.3)), які доставляють мінімум функціоналу. Функціонал називається критерієм якості. Рішення сформульованої задачі називається оптимальним керуванням і оптимальною траєкторією. У короткій записи ця задача виглядає наступним чином:
Тут лівий кінець траєкторії закріплений, а правий вільний. Інші завдання, що відповідають різним режимам на кінцях траєкторії, визначаються точно так само, як в безперервному випадку. Аналогічно можна задати обмеження на управління, фазові і змішані обмеження.
Найбільш часто зустрічаються в дискретних задачах критерії якості задаються наступними функціоналами:
1) сумарний
) термінальний
3) змішаний
Дискретні задачі оптимального керування служать моделями для багатьох технічних і економічних процесів управління. Приклади таких моделей можна знайти в [4], [5]. Однак дискретні завдання виникають не тільки як об'єкти самостійного дослідження. Дуже часто до них зводяться безперервні задачі оптимального управління. Необхідність розгляду дискретних аналогів безперервних систем виникає майже завжди при чисельному рішенні безперервних завдань управління.
Можливі різні, в сенсі точності або простоти, переходи до дискретної апроксимації. Наведемо найбільш простий спосіб. Нехай задано диференціальне рівняння
(2.3.8)
де - n-вектор стану, - вектор управління.
Зафіксуємо натуральне число N і покладемо Будемо надавати аргументу? лише значення і введемо дискретний аргум...
