ент за формулою
Таким чином, t буде приймати значення 0,1,2, ..., N. Замість змінних y, v введемо нові змінні x, u за формулами
Диференціальне рівняння (2.3.8) замінимо наближеним різницевим:
y (?)? y (?? h)=f (y (?? h), v (?? h)). (2.3.11)
Будемо розглядати це рівняння лише для значень? =H, 2h, ..., Nh.
З (2.3.11) отримаємо:
(?)=y (?? h) + hf (y (?? h), v (?)), або, в силу (2.3.9), (2.3.10), (t)=x (t? 1) + hf (x (t? 1), u (t? 1)), t=1, 2, ..., N.
Це і є дискретний аналог безперервної системи.
Якщо розглядається безперервна ЗОУ з критерієм якості
J (y, v) =? f 0 (y (?), v (?)) d? +? (Y (T)),
то при побудові дискретного аналога він перетвориться в сумарний критерій:
? 1 (x, u)=h? f 0 (x (t), u (t)) +? (x (N)).=0
Зворотно, якщо ми маємо дискретну задачу оптимального управління, то завжди можна побудувати її безперервний аналог. Приклад такої побудови міститься в [4].
2.2 Постановка завдання
Теорія оптимального управління знайшла широке застосування в ракетодинаміку. Висновок космічних апаратів на орбіту, маневри в космосі, посадка вимагають рішення ряду оптимізаційних задач, пов'язаних з мінімізацією витрат палива, мінімізацією часу виходу в задану точку траєкторії і т.п. Саме процеси руху керованих літальних апаратів описуються досить простими і, разом з тим, точними математичними моделями. Наявність добре розробленої раніше теорії руху ракет дозволило швидко і ефективно застосувати методи оптимального управління до вирішення низки проблем у цій актуальній галузі техніки.
Припустимо, що космічний апарат, який можна розглядати як матеріальну точку, здійснює м'яку посадку на Місяць. Примісячення проводиться по вертикальній прямій, нормальної до поверхні Місяця. Нехай початок координат збігається з цією поверхнею, координатна вісь спрямована вертикально вгору. У початковий момент часу космічний корабель, що знаходиться на відомій висот, має швидкість і має масу. У кожен момент часу на апарат діє сила тяжіння Місяця, спрямована вертикально вниз і рівна за абсолютною величиною. Тут - маса апарата, - прискорення вільного падіння на Місяці, яке ми будемо вважати постійним. При включених двигунах діє сила тяги, спрямована вгору і рівна, де - миттєву витрату палива,;- Відомий постійний коефіцієнт. Зв'язок зміни маси з витратою пального визначається формулою. Потрібно знайти режим витрати палива, що забезпечує нульову швидкість апарату в точці примісячення і мінімальні сумарні витрати палива. Час посадки заздалегідь не обумовлюється.
Перейдемо до формалізації поставленого завдання як задачі оптимального керування. Роль керуючого впливу грає скалярная функція, стиснена обмеженнями типу (2):
,
Як вектор-функції, що характеризує стан процесу, виберемо. Тут - висота апарату в момент, - швидкість, - маса апарата. Тоді.
Відповідно до другого закону Ньютона
.
За визначенням витрати палива
Наведені три диференціальні рівняння утворюють систему (1), визначальну диференціальну зв'язок між станом і управлінням...
