о проходить через точку. Радіус циліндра R, його нижня основа лежить у площині t=t0, а верхнє - в площині t=t1. Позначення вводиться для бічної поверхні цього циліндра, а для його нижньої основи. Використовуючи ці поняття, точки кордону області D (позначається як ¶ D) поділяються на два види.
Визначення 3.
Точка? ¶ D називається точкою верхньої кришки межі області D, якщо для будь-яких e> 0 і d> 0 виконано:, а й позначаються g (D).
Якщо область D є циліндричної областю, то верхня кришка це її верхню підставу. Це ж твердження справедливе, якщо в основі циліндра лежить не коло радіуса R, а будь-яка довільна область G? Rn.
Визначення 4.
Точки? ¶ D, які є доповненням верхньої кришки області D до усього кордону ¶ D називається точками власної межі області D, і позначаються G (D).
Приклад визначення верхньої кришки і власної межі області D розглянемо в просторі (x, t). Нехай область D така, як показано на рис. 1. У цьому випадку верхньою кришкою (g (D)) будуть відрізки (a, b) при t=t1 і (a1, b1) при t=t3. Решта точки кордону області D є точками власної кордону (G (D)).
Задачу для довільної області D можна сформулювати наступним чином. Будемо припускати, що функції? C (D). Тоді завдання формулюється так: Знайти функцію {u: u? C (D) C2 (D)}, D - обмежена область, таку що
, (6)
(7)
Коефіцієнти оператора, де? D? Rn +1 безупинні і задовольняють умовам (1) - (5).
§ 2. Принцип максимуму для рівнянь параболічного типу
Наявність екстремальних властивостей рівнянь дозволяє проводити оцінки рішень і досить легко доводити єдиність і стійкість рішень задач, поставлених для цих рівнянь. В якості попереднього зауваження нагадаємо, що з курсу рівнянь математичної фізики відомо, що диференціальні рівняння другого порядку в кожній точці їх області визначення в просторі Rn з допомогою не особливого перетворення можуть бути приведені до канонічного виду. Їх головна частина в цьому випадку представляє суму других похідних виду, де di приймає значення або 1, або - 1. В залежність від значень di і співвідношень між n і m визначається тип рівняння.
Розглянемо рівняння
, (8)
причому функції оператора L безупинні і задовольняють умовам (1) - (5). Тоді головна частина рівняння (8) у будь-якій точці області D приводиться до виду, тобто є рівнянням параболічного типу.
Теорема 1. (Принцип максимуму).
Нехай D обмежена область в Rn +1 і g (D) її верхня кришка, G (D) її власна межа. Нехай у Dg (D) визначений оператор причому функції оператора L задовольняють умовам (1) - (5) і u субпараболіческая (суперпараболіческая) функція.
Тоді функція u НЕ позитивна (не негативні) або досягає свого позитивного максимуму (негативного мінімуму) на власному кордоні G (D) області D.
Доказ. Доказ проводиться методом від протилежного у разі субпараболіческой функції. Справді, якщо функція супрепараболіческая, тобто задовольняє нерівності при всіх? D, то заміною u на-u вона стає субпараболіческой. Припустимо, що функція u досягає позитивного максимуму в деякій точці (x0, t0)? Dg (D). Позначимо, а u (x0, t0)=m і ми припустили, що m> M. Розглянемо нерівність у точці (x0, t0), привівши в цій точці ліву частину до канонічного заміною t=t, x=B увазі x, де B неособо матриця:
. (9)
Точка (x0, t0) відповідає точц...
