і максимуму в нових координатах. Так як в точці (x0, t0)? Dg (D), то ліва частина нерівності (9) неотрицательна. Однак у цьому випадку протиріччя немає, так як допускається рівність нулю. Щоб виключити рівність нулю лівої частини нерівності (9), введемо допоміжну функцію. Нехай e=m-M> 0 і, де площину t=T обмежує область D зверху, тобто для всіх t з області D виконано нерівність t < T. Легко показати, що функція v також є субпараболіческой. Покажемо, що вона так само, як і функція u, досягає свого максимуму в деякій точці (x1, t1)? Dg (D). Слід зазначити, що. Доведемо, що. Це легко бачити, побудувавши наступний ланцюжок нерівностей. Нехай функція v досягає свого максимуму в деякій точці (x1, t1)? Dg (D). Замінивши у нерівності (9) u=v - і приводячи в отриманому нерівність ліву частину до канонічного виду в точці (x1, t1), отримуємо
,
так як (x1, t1)? Dg (D). Отримане протиріччя показує, що вихідне твердження було неправильним і позитивний максимум досягається на власному кордоні.
Використовуючи принцип максимуму, легко довести єдність розв'язку задачі (6) - (7). Справді, якщо припустити, що задача (6) - (7) має два рішення u і v, то їх різниця w=uv задовольняє однорідному рівнянню і нульовим умовам на власному кордоні. Оскільки рівняння однорідне, то функцію w можна розглядати як суб-, так і як суперпараболіческую. Це означає, що максимум і мінімум функції досягається на власному кордоні і, в силу умов завдання, вони рівні нулю. Це говорить про те, що вихідне припущення про наявність двох різних рішень невірно. Ці міркування можна сформулювати в наступному вигляді.
Теорема 2.
Рішення задачі (6) - (7) у разі обмеженої області D єдино.
Лемма 1.
Нехай у Dg (D) визначений оператор причому функції оператора L задовольняють умовам (1) - (5). Крім того, виконана умова де і, m, A=const> 0. Тоді в має місце нерівність | u |? m + A (t - t0), причому область D розташована вище площини t=t0.
Доказ.
В силу умови леми і. Розглянемо праві нерівності. Перше з них можна перетворити так:
.
Так як з? 0 в області Dg (D) і (t - t0)> 0, то функція u - A (t - t0) є субпараболіческой і на власному кордоні не перевищує значення m. Отже, u - A (t-t0)
Лемма 1 дозволяє оцінити рішення задачі (6) - (7) залежно від значень і. Якщо? A, а? m, то в силу леми 1 рішення задачі (6) - (7) задовольняє нерівності | u |? m + A (t - t0).
Теорема 3.
Рішення задачі (6) - (7) стійко по відношенню до малих за модулем змін правих частин та умов на власному кордоні.
Доказ.
Розглядається два завдання (6) - (7) і
,
d=const.
Тоді, вводячи функцію w=v - u маємо для функції w таку завдання
,
Отже, | w | < d (1 + (T - t0)) < e, де область D розташована між площинами t=T і t=t0, і при d ® 0 | w | ® 0. Доказ закінчено.
Для подальшого уточнення оцінки рішень рівнянь (6) введемо поняття підобласті, підпорядкованої точці (x0, t0)? D.
Визначення 5.
Область D? D називається підобластю, підпорядкованої точці (x0, t0)? D, якщо вона розташована під площиною t=t0 і для будь-якої точки (x, t)? D існує ламана лінія, що з'є...
