Курсова робота
Принцип екстремуму для параболічних рівнянь та його застосування
Зміст
Введення
I. Принцип максимуму для рівнянь параболічного типу
§ 1. Визначення і параболічні оператори
§ 2. Принцип максимуму для рівнянь параболічного типу
§ 3. Принцип максимуму для початкової задачі рівнянь параболічного типу
II. Практичне застосування принципу максимуму при математичному моделюванні процесів.
§ 1.Уравненіе теплопровідності
§ 2.Прімери застосування принципу максимуму в завданнях управління процесами
Висновок
Література
Введення
У зв'язку з інтенсивним розвитком техніки в кінці минулого століття виникла необхідність інтенсивного вивчення предмета рівняння математичної фізики. Багато задач математичного моделювання фізичних явищ, пов'язаних з функціонуванням різних систем і пристроїв, зводяться до вирішення і дослідженню диференціальних рівнянь. Рівняння, математично описують процеси, не завжди відомі з достатнім ступенем точності і, крім того, нерівноцінні при структурі правих частин. Однак найбільш прості за структурою диференціальні рівняння можна використовувати при аналізі більш складних систем за допомогою залучення таких засобів аналізу, як диференціальні нерівності, метод функцій Ляпунова та інші методи, пов'язані з ідеями позитивності і напіввпорядкованих.
У цій роботі розглядаються принципи максимуму і питання єдиності рішення задач, пов'язаних з рівняннями в приватних похідних параболічного типу та її практичне застосування. Цей метод на відміну від класичного варіаційного числення дозволяє вирішувати багато завдань математичного моделювання та управління процесами, в яких на керуючі параметри накладені вельми загальні обмеження, хоча зазвичай заздалегідь зумовлюється ряд властивостей рішення. Завдяки цьому принцип максимуму є основним математичним прийомом, використовуваним при розрахунку в багатьох важливих завданнях математики, техніки та економіки.
I. Принцип максимуму для рівнянь параболічного типу
§ 1. Визначення і параболічні оператори
Введемо лінійний диференційний оператор другого порядку в
Rn +1. ,
де? D? Rn +1. Передбачається, що функції - обмежені і задовольняють таким вимогам:
? (1)
? (2)
? (3)
? (4)
? с? 0 (5)
У разі безперервності коефіцієнтів рівняння в області D, функції sup і inf замінюються функціями max та min. При виконанні цих умов оператор є параболічним лінійним оператором, так як квадратична форма, породжена головною частиною оператора, приводиться до канонічного вигляду в області D простору Rn +1.
Визначення 1.
Функція U називається субпараболіческой, якщо задовольняє нерівності при всіх? D.
Визначення 2.
Функція U називається суперпараболіческой, якщо задовольняє нерівності при всіх? D.
Для того щоб сформулювати завдання, які можуть бути поставлені для цих рівнянь, введемо визначення, що стосуються області D. Введемо наступні позначення.- Циліндр, з віссю, паралельною осі t, щ...
