геометрії та фізики,) показати практичне застосування теореми Штольца при вирішенні завдань на доказ збіжності послідовності.
Глава I. Границя числової послідовності
.1 Історична довідка
До поняття межі впритул підійшли ще давньогрецькі вчені при обчисленні площ і обсягів деяких фігур і тіл за допомогою вичерпання методу. Так, Архімед , розглядаючи послідовності вписаних і описаних ступінчастих фігур і тіл, за допомогою методу вичерпання доводив, що різниця між їх площами (відповідно обсягами) може бути зроблена менше будь наперед заданої позитивної величини. Включає в себе уявлення про нескінченно малих, метод вичерпання був зародком теорії меж. Однак у явному вигляді у давньогрецькій математиці поняття межі не було сформульовано.
Новий етап у розвитку поняття межі настав в епоху створення диференціального й інтегрального числень. Г. Галілей, І. Кеплер, Б. Кавальєрі, Б. Паскаль і інші широко використовують при обчисленні площ і обсягів «неподільних» метод, метод актуальних нескінченно малих, тобто таких нескінченно малих, які, за їх уявленням, є незмінними величинами, що не рівними нулю і разом з тим меншими за абсолютною величиною будь-яких позитивних кінцевих величин. Продовжує в цей період застосовуватися і розвиватися і метод вичерпання (Григорій з Сен-Вінцента, П. Гульдін, X. Гюйгенс та ін.) На основі інтуїтивного поняття межі з'являються спроби створити загальну теорію меж. Так, І. Ньютон перший відділ першої книги («Про рух тіл») своєї праці «Математичні начала натуральної філософії» присвячує своєрідною теорії меж під назвою «Метод перших і останніх відносин», яку він бере за основу свого флюксий обчислення. У цій теорії Ньютон замість актуальних нескінченно малих пропонує концепцію «потенційної» нескінченно малою, яка лише в процесі своєї зміни стає по абсолютній величині менше будь-якої позитивної кінцевої величини. Точка зору Ньютона була істотним кроком вперед у розвитку уявлення про межу. Поняття межі, що намічалося в математиків XVII в., В XVIII в. поступово все більше аналізувалося (Л. Ейлер, Ж. Д'Аламбер, Л. Карно, брати Бернуллі та ін) і уточнювалося. У цей період воно служило лише для спроб пояснити правильність диференціального й інтегрального числення і ще не було методом розробки проблем математичного аналізу.
Сучасна теорія меж почала формуватися на початку XIX в. у зв'язку з вивченням властивостей різних класів функцій, перш за все безперервних, а також у зв'язку зі спробою докази існування ряду основних об'єктів математичного аналізу (інтегралів функцій дійсних і комплексних змінних, сум рядів, алгебраїчних коренів і більш загальних рівнянь і т. п.). Вперше в роботах О. Коші поняття межі стало основою побудови математичного аналізу. Їм були отримані основні ознаки існування межі послідовностей, основні теореми про межі і, що дуже важливо, дан внутрішній критерій збіжності послідовності, що носить тепер його ім'я. Нарешті, він визначив інтеграл як межа інтегральних сум і вивчив його властивості, виходячи з цього визначення. Остаточно поняття межі послідовності і функції оформилося на базі теорії дійсного числа в роботах Б. Больцано і К. Вейєрштрасса . З подальших узагальнень п...
