римаємо
.
Аналогічні співвідношення отримаємо для інших компонент:
,
,
.
Ці співвідношення були отримані Гейзенбергом і називаються співвідношеннями невизначеностей Гейзенберга. Сенс нерівностей полягає в тому, що координати і імпульси не можуть бути одночасно визначені абсолютно точно. Твір невизначеностей координати та відповідного їй імпульсу не може бути менше величини h.
Співвідношення невизначеності є квантовим обмеженням застосовності класичної фізики. Розглянемо, наприклад, рух електрона навколо ядра в атомі водню. Відомо, що радіус атома водню м. Швидкість електрона, що рухається по круговій орбіті, визначимо з умови
.
Звідси отримаємо м / с. З іншого боку, використовуючи принцип невизначеності, знайдемо невизначеність величини швидкості
.
Підставляючи числові значення, отримаємо м / с, тобто невизначеність швидкості в кілька разів перевищує саму швидкість. Тому говорити про траєкторії руху електрона в атомі не має сенсу. Можна говорити тільки про ймовірність знаходження електрона на певній відстані від ядра.
Для макроскопічних тіл невизначеності у визначенні координат і імпульсів настільки малі, що не можуть бути виявлені ніякими приладами. Тому в класичній фізиці можна говорити про траєкторії частинки, її швидкості та прискоренні.
Інтерпретація принципу невизначеності є досить складною і неоднозначною. Різні фізики по-різному трактували цей принцип.
) Н. Бор показав, що будь-яке вимірювання вносить похибку у результати. Якщо дуже точно вимірювати координату х, то з'являється велика похибка у визначенні імпульсу. Точне вимірювання імпульсу призводить до великої похибки у визначенні координати. При цьому завжди виконується нерівність
.
) В. Гейзенберг, Паулі, де Бройль і інші вважали, що хвильові властивості частинок призводять до того, що говорити про траєкторії частинок на відстанях безглуздо. У мікросвіті траєкторій не існує.
) А. Ейнштейн вважав, що існують деякі приховані параметри, які визначають траєкторію в мікросвіті. Можливо, буде створена теорія, в якій ці параметри можна буде визначити і повністю описати стан фізичної системи.
При цьому всі вчені визнавали справедливість отриманих формул, але давали їм різну інтерпретацію.
Співвідношення невизначеності справедливі не тільки для координат та імпульсів, а й для інших пов'язаних величин. Якщо? E - невизначеність енергії системи в момент вимірювання, а? T - невизначеність тривалості процесу вимірювання, то справедливо нерівність
.
Наприклад, для короткоживучих елементарних часток, що мають час життя?, невизначеність у визначенні величини енергії складе
.
2. Рівняння Шредінгера
У класичній фізиці рух частинки описується з використанням законів Ньютона. Основним рівнянням руху частки є рівняння, що випливає з другого закону Ньютона
.
У квантовій механіці основним рівнянням руху частки є рівняння Шредінгера. Згідно Шредингеру, положення частки описується функцією? (R, t) (пси - функцією), яка залежить від координат і часу.
Рівняння Шредінгера формулюється для хвильової функції? (r, t) і має вигляд
,
де...
