оператор Лапласа,, m - маса частки, i - уявна одиниця, U (r, t) - потенційна енергія частинки. Якщо потенційна енергія не залежить від часу, то це рівняння можна спростити. Вважаючи
,
де - енергія частинки, отримаємо
.
Останнє рівняння називають рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів. Для однозначного визначення функції? (R, t) рівняння Шредінгера слід доповнити граничними умовами, тобто умовами для функції? (r, t) на межі області завдання функції.
Сенс?- Функції: квадрат модуля?- Функції визначає ймовірність того, що частка перебуває в елементі об'єму
.
Із змісту?- Функції випливає, що опис часток в квантовій механіці є імовірнісним. Відповідно, у квантовій механіці змінюється принцип причинності. Якщо в класичній фізиці при відомих початкових умов поведінка механічної системи було повністю зумовлене, то в квантовій механіці на перше місце виходить випадковість, і фізичні співвідношення мають імовірнісний зміст.
З імовірнісного сенсу?- Функції випливає умова нормування
,
якому повинна задовольняти?- Функція. У рівняння Шредінгера як параметр входить енергія частки Е. Можна строго математично показати, що якщо рух частинки обмежена, то енергія квантів, тобто приймає тільки дискретні значення.
У простому випадку одновимірного руху рівняння Шредінгера має вигляд
.
Якщо потенційна енергія не залежить від часу, то можна зробити заміну змінних
,
де Е - повна енергія частинки. Підставляючи цей вираз в рівняння Шредінгера, одержимо рівняння для функції? (X)
.
Рівняння Шредінгера є рівнянням в приватних похідних і, взагалі кажучи, є більш складним, ніж рівняння Ньютона. В якості найпростішого прикладу розглянемо вільний рух частинки, тобто випадок. Направляючи вісь х вздовж лінії руху частки, отримаємо стаціонарне рівняння Шредінгера
,
рішенням якого буде функція
,
де введено позначення
.
Положення частинки описується плоскою монохроматичному хвилею. Імовірність знаходження частинки у всіх точках простору одна і та ж, тобто при вільному русі частинки її координати не можуть бути визначені однозначно. Цей несподіваний з точки зору класичної фізики висновок пов'язаний з принципом невизначеності. Імпульс частинки пов'язаний з хвильовим вектором k співвідношенням
,
і точне завдання k призводить до точного значення імпульсу. На підставі принципу невизначеності Гейзенберга величина повинна бути нескінченно великою, що призводить до невизначеності значення х.
3. Частка у потенційній ямі
Розглянемо найпростіший випадок руху частки в одновимірної потенційної ямі з нескінченно високими «стінками».
Рівняння Шредінгера для частинки в ямі має вигляд (U=0)
або
,
де
.
Для - функції на кордонах повинні виконуватися умови безперервності:
.
Загальне рішення диференціального рівняння
.
З граничних умов отримаємо
,
. <...
