в полягає у використанні методів математичного аналізу для пошуку рівнянь, яким повинні задовольняти ці точки, і для вирішення цих рівнянь [2].
.1 Необхідна і достатня умова існування екстремуму функцій однієї змінної
Визначення 1.1. Функція f (x) однієї змінної має локальний мінімум в точці x, якщо існує, така, що для всіх, тобто якщо існує деяка околиця точки, в якій значення функції в будь-якій її точці більше, ніж [1].
Визначення 1.2. Функція має глобальний мінімум в точці, якщо для всіх x з області визначення f (x) [1].
З малюнка 1 видно, що в точках і дотична до графіка функції буде паралельна осі OX, а це означає, що похідна функції в цих точках буде дорівнює нулю. Отже, і будуть рішеннями рівняння.
Однак це ж справедливо і для точки максимуму, і для точки перегину. Таким чином, знайдене рівняння є необхідною умовою мінімуму, але не є достатнім.
В точках і похідна змінює знак з негативного на позитивний, в - з позитивного на негативний, в точці похідна знак не змінює. Отже, в точці мінімуму похідна є зростаючою функцією. Ступінь же зростання вимірюється другої похідної, тобто в нашому випадку,,. Однак якщо, то ситуація залишається невизначеною [2].
Надійна підстава для отриманих результатів дає розкладання функції в ряд Тейлора в околиці точки (,).
Якщо - точка мінімуму, то для будь-якого достатньо малого h.
Якщо, то негативне h зробить негативною різниця, що неможливо в точці мінімуму. Якщо, то відбудеться те ж саме, якщо вибрати позитивне h. Отже, - це необхідна умова існування мінімуму в точці.
Так як завжди, то при і завжди виконується, тобто - точка мінімуму, а при, (h - будь-яке) і - крапка максимуму. Отже, це достатні умови.
Якщо ж, то міркування, аналогічні проведеним для першої похідної, можна повторити для і так далі [2].
Це дозволяє сформулювати наступне правило:
Теорема 1 (необхідна і достатня умова існування екстремуму функцій однієї змінної).
Якщо функція та її похідні неперервні, то точка є точкою екстремуму (максимуму або мінімуму) тоді і тільки тоді, коли порядок k її першою, не звертається в нуль в точці похідної є парне число. При цьому, якщо, то - точка максимуму, якщо, то - точка мінімуму.
Таким чином, при класичному підході для пошуку мінімуму функції однієї змінної необхідно вирішити рівняння і встановити знак в отриманих точках. Аналітичне рішення такого рівняння в загальному випадку неможливо, тому використовуються методи наближеного рішення рівняння, відомі з математичного аналізу (методи Ньютона, біекція, і т.д.) [1].
1.2 Необхідна і достатня умова існування екстремуму функцій декількох змінних
безумовний оптимізація Лагранж екстремум
Розглянемо функцію n дійсних змінних. Введемо матричні позначення для точки в n-вимірному просторі, градієнта (вектора приватних похідних першого порядку функції f) і гессіан (матриці приватних похідних другого порядку):
- точка в n-вимірному просторі,
- градієнт,
- гессіан (матриця Гессе).
...
