- елемент G (X) - приватна похідна другого порядку. G (X) - симетрична матриця [2].
Визначення 3. Функція має локальний мінімум в точці, якщо існує околиця точки, така, що у всіх точках цієї околиці, тобто існує така d> 0, що для всіх справедливо [1].
Визначення 4. Якщо для всіх X з області визначення функції f, то - точка глобального мінімуму [1].
Припускаючи безперервність і всіх її частинах похідних, можна узагальнити класичний підхід на випадок n? 2.
Запишемо розкладання функції в ряд Тейлора:
.
Тоді, якщо - точка мінімуму функції, то кожна перша приватна похідна, повинна звертатися в нуль в точці, інакше відповідним вибором H можна буде добитися того, що різниця, буде негативна [2].
Необхідна умова існування мінімуму в точці:
Якщо функція диференційовна в точці, то вона може мати в цій точці внутрішній максимум або мінімум лише в тому випадку, коли її перший диференціал звертається в цій точці в нуль:
.
Тоді знак різниці, визначається членом, який позитивний для всіх H, якщо матриця G () позитивно визначена, і від'ємний при негативно певному гессіане [3].
Достатня умова:
Якщо функція має в точці безперервні другі приватні похідні і якщо в цій точці виконуються необхідні умови, то в разі:
якщо - позитивно визначена, то - мінімум;
якщо - негативно визначена,-максимум.
Таким чином, для вирішення задачі оптимізації класичним методом необхідно вирішити систему рівнянь, що неможливо зробити аналітично за винятком дуже вузького класу таких систем (наприклад, система лінійних рівнянь невисокого порядку). Потім доведеться ще встановлювати визначеність гессіан, що теж є зовсім нетривіальним завданням у разі великих розмірностей. Все це призводить до необхідності розробляти ітераційні процедури вирішення завдань оптимізації [2].
2. Умовна оптимізація
Завдання умовної оптимізації полягає в пошуку мінімального або максимального значення скалярної функції f (x) n-мірного векторного аргументах при заданих обмеженнях [5].
.1 Правило множників Лагранжа. Необхідні умови оптимальності
Метод множників Лагранжа застосовують для вирішення завдань такого ж класу складності, як і при використанні звичайних методів дослідження функцій, але за наявності обмежень типу рівностей на незалежні змінні. До вимоги можливості отримання аналітичних виразів для похідних від критерію оптимальності при цьому додається аналогічну вимогу щодо аналітичного виду рівнянь обмежень.
В основному при використанні методу множників Лагранжа доводиться вирішувати ті ж завдання, що і без обмежень. Деяке ускладнення в даному випадку виникає лише від введення додаткових невизначених множників, внаслідок чого порядок системи рівнянь, розв'язуваної для знаходження екстремумів критерію оптимальності, відповідно підвищується на число обмежень. В іншому, процедура пошуку рішень і перевірки їх на оптимальність відповідає процедурі вирішення завдань без обмежень [5].
Завдання умовної оптимізації формулюється таким чином:
f (x)=f (x1, x2, ..., xn)? extr, (1)
ji (x)=ji (x 1, x 2, ..., xn)=0,, m < n. (2)
Необхідні умови локальної оптимальності для цього завдання відомі як правило множників ...
